Напряжения в области контакта при одновременном нагружении нормальной и касательной силой. Напряжения определены методом фотоупругости
Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.
Классическая механика контактных взаимодействий связана, прежде всего, с именем Генриха Герца . В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR - теория).
Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.
Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перссон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.
Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространствомКонтакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством
Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом
Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространствомПри индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:
Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как
В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:
Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением
как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно
Феномен адгезии проще всего наблюдать в контакте твердого тела с очень мягким упругим телом, например, с желе. При прикосновении тел в результате действия сил Ван дер Ваальса возникает адгезионная шейка. Для того чтобы тела опять разорвать, необходимо приложить некоторую минимальную силу, именуемую силой адгезии. Аналогичные явления имеют место в контакте двух твердых тел, разделенных очень мягким слоем, как например, в стикере или в пластыре. Адгезия может как представлять технологический интерес, например, в клеевом соединении, так и являться мешающим фактором, например, препятствующим быстрому открытию эластомерных клапанов.
Сила адгезии между параболическим твердым телом и упругим полупростанством впервые была найдена в 1971 г. Джонсоном, Кендаллом и Робертсом . Она равна
Более сложные формы начинают отрываться "с краев" формы, после чего фронт отрыва растпростаняется к центру до достижения некоторого критического состояния . Процесс отрыва адгезивного контакта можно наблюдать в исследовании .
Многие задачи механики контактного взаимодействия могут быть легко решены методом редукции размерности. В этом методе исходная трехмерная система замещается на одномерное упругое или вязкоупругое основание (рисунок). Если параметры основания и форма тела выбраны на основе простых правил метода редукции, то макроскопические свойства контакта совпадают точно со свойствами оригинала.
К. Л. Джонсон, К. Кендал и А. Д. Робертс (JKR - по первым буквам фамилий) взяли эту теорию за основу при вычислении теоретического сдвига или глубины вдавливания при наличии адгезии в их значимой статье «Поверхностная энергия и контакт упругих твёрдых частиц», изданной в 1971 в трудах Королевского Общества. Теория Герца вытекает из их формулировки, при условии, если адгезия материалов равна нулю.
Подобно этой теории, но на основе других предположений, в 1975 Б. В. Дерягин, В. М. Мюллер и Ю. П. Топоров разработали другую теорию, которая среди исследователей известна как теория DMT, и из которой также вытекает формулировка Герца при условии нулевой адгезии.
Теория DMT в дальнейшем была несколько раз пересмотрена прежде, чем она была принята как ещё одна теория контактного взаимодействия в дополнение к теории JKR.
Обе теории, как DMT так и JKR, являются основой механики контактного взаимодействия, на которых базируются все модели контактного перехода, и которые используются в расчётах наносдвигов и электронной микроскопии. Так исследования Герца в дни его работы лектором, которые он сам с его трезвой самооценкой считал тривиальными, ещё до его великих трудов по электромагнетизму, попали в век нанотехнологий.
Напряжения в области контакта при одновременном нагружении нормальной и касательной силой. Напряжения определены методом фотоупругости
Механика контактного взаимодействия занимается расчётом упругих, вязкоупругих и пластичных тел при статическом или динамическом контакте. Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, обязательной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например, колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, двигателей внутреннего сгорания, шарниров, уплотнений; при штамповке, металлообработке, ультразвуковой сварке, электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала, до применения в микро- и наносистемах.
История
Классическая механика контактных взаимодействий связана прежде всего с именем Генриха Герца . В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия. Лишь столетие спустя Джонсон, Кендал и Робертс нашли аналогичное решение для адгезионного контакта (JKR – теория).
Дальнейший прогресс механики контактного взаимодействия в середине 20-го столетия связан с именами Боудена и Тейбора. Они первые указали на важность учёта шероховатости поверхности контактируемых тел. Шероховатость приводит к тому, что действительная площадь контакта между трущимися телами намного меньше кажущейся площади контакта. Эти представления существенно изменили направление многих трибологических исследований. Работы Боудена и Тейбора вызвали появление ряда теорий механики контактного взаимодействия шероховатых поверхностей.
Пионерскими работами в этой области являются работы Архарда (1957), который пришёл к заключению, что при контакте упругих шероховатых поверхностей площадь контакта примерно пропорциональна нормальной силе. Дальнейший важный вклад в теорию контакта шероховатых поверхностей внесли Гринвуд и Виллиамсон (1966) и Перcсон (2002). Главным результатом этих работ является доказательство того, что действительная площадь контакта шероховатых поверхностей в грубом приближении пропорциональна нормальной силе, в то время как характеристики отдельного микроконтакта (давление, размер микроконтакта) слабо зависят от нагрузки.
Классические задачи механики контактного взаимодействия
Контакт между шаром и упругим полупространством
Контакт между шаром и упругим полупространством
Твёрдый шар радиуса вдавливается в упругое полупространство на глубину (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса .
Необходимая для этого сила равна
И здесь модули упругости, а и - коэффициенты Пуассона обоих тел.
Контакт между двумя шарами
При контакте двух шаров с радиусами и эти уравнения справедливы соответственно для радиуса
Распределение давления в площади контакта рассчитывается как
Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для при .
Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами
Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами
Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом и плоскостью (см.выше).
Контакт между твёрдым цилиндрическим индентором и упругим полупространством
Контакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством
Если твёрдый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом
Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется
Контакт между твёрдым коническим индентором и упругим полупространством
Контакт между конусом и упругим полупространством
При индентировании упругого полупространства твёрдым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта связаны следующим соотношением:
Есть угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса. Распределение давления определяется формулой
Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как
Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями
Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями
В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения:
Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением
как и в случае контакта между двумя шарами. Максимальное давление равно
Контакт между шероховатыми поверхностями
Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, то реальная площадь контакта намного меньше, чем видимая площадь . При контакте между плоскостью со случайно распределённой шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе и определяется следующим уравнением:
При этом - среднеквадратичное значение неровности плоскости и . Среднее давление в реальной площади контакта
рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости , умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности . Если это давление больше твёрдости материала и, таким образом
то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии. Для поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина была введена Гринвудом и Виллиамсоном и носит название индекса пластичности. Факт деформирования тела, упругого или пластического, не зависит от приложенной нормальной силы.
Литература
- K. L. Johnson: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
- Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation , Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9 .
- Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications , Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0 .
- I. N. Sneddon: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, pp. 47–57.
- S. Hyun, M. O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413–1422.
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Механико-машиностроительный факультет УГТУ-УПИ
- Механическая пила из Техаса 2
Смотреть что такое "Механика контактного взаимодействия" в других словарях:
Герц, Генрих Рудольф - В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Герц. Генрих Рудольф Герц Heinrich Rudolf Hertz … Википедия
Чаварелла, Микеле - Микеле Чаварелла (итал. Michele Ciavarella; р. 21 сентября 1970, Бари, Италия) итальянский инженер и исследователь, профессор механики Политехнического университета Бари (Associate Professor of Mechanics at Politecnico di Bari), общественный… … Википедия
Физика - I. Предмет и структура физики Ф. – наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы её движения. Поэтому понятия Ф. и сё законы лежат в основе всего… …
Метод подвижных клеточных автоматов - Подвижные клеточные автоматы активно меняют своих соседей за счет разрыва существующих связей между автоматами и образования новых связей (моделирование контактного взаимодействи … Википедия
СССР. Технические науки - Авиационная наука и техника В дореволюционной России был построен ряд самолётов оригинальной конструкции. Свои самолёты создали (1909 1914) Я. М. Гаккель, Д. П. Григорович, В. А. Слесарев и др. Был построен 4 моторный самолёт… … Большая советская энциклопедия
Галин, Лев Александрович - {{}} Лев Александрович Галин Дата рождения: 15 (28) сентября 1912(1912 09 28) Место рождения: Богородск, Горьковской области Дата смерти: 16 декабря 1981 … Википедия
Трибология - (лат. tribos трение) наука, раздел физики, занимающаяся исследованием и описанием контактного взаимодействия твёрдых деформируемых тел при их относительном перемещении. Областью трибологических исследований являются процессы… … Википедия
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Механика контактного взаимодействия
Введение
механика контактный шероховатость упругий
Механика контактного взаимодействия является основополагающей инженерной дисциплиной, чрезвычайно полезной при проектировании надёжного и энергосберегающего оборудования. Она будет полезна при решении многих контактных задач, например колесо-рельс, при расчёте муфт, тормозов, шин, подшипников скольжения и качения, передач зубчатыми колесами, шарниров, уплотнений; электрических контактах и др. Она охватывает широкий спектр задач, начиная от расчётов прочности элементов сопряжения трибосистемы с учётом смазывающей среды и строения материала и заканчивая применением в микро- и наносистемах.
Классическая механика контактных взаимодействий связана прежде всего с именем Генриха Герца. В 1882 году Герц решил задачу о контакте двух упругих тел с искривлёнными поверхностями. Этот классический результат и сегодня лежит в основе механики контактного взаимодействия.
1. Классические задачи механики контактного взаимодействия
1. Контакт между шаром и упругим полупространством
Твёрдый шар радиуса R вдавливается в упругое полупространство на глубину d (глубина проникновения), образуя область контакта радиуса
Необходимая для этого сила равна
Здесь E1, E2 - модули упругости; н1, н2 - коэффициенты Пуассона обоих тел.
2. Контакт между двумя шарами
При контакте двух шаров с радиусами R1 и R2 эти уравнения справедливы соответственно для радиуса R
Распределение давления в площади контакта определяется по формуле
с максимальным давлением в центре
Максимальное касательное напряжение достигается под поверхностью, для н = 0,33 при.
3. Контакт между двумя скрещивающимися цилиндрами с одинаковыми радиусами R
Контакт между двумя скрещенными цилиндрами с одинаковыми радиусами эквивалентен контакту между шаром радиусом R и плоскостью (см. выше).
4. Контакт между твердым цилиндрическим индентором и упругим полупространством
Если твердый цилиндр радиусом a вдавливается в упругое полупространство, тo давление распределяется следующим образом:
Связь между глубиной проникновения и нормальной силой определяется
5. Контакт между твердым коническим индентором и упругим полупространством
При индентировании упругого полупространства твердым конусообразным индентером глубина проникновения и радиус контакта определяются следующим соотношением:
Здесь и? угол между горизонталью и боковой плоскостью конуса.
Распределение давления определяется формулой
Напряжение в вершине конуса (в центре области контакта) изменяется по логарифмическому закону. Суммарная сила рассчитывается как
6. Контакт между двумя цилиндрами с параллельными осями
В случае контакта между двумя упругими цилиндрами с параллельными осями сила прямо пропорциональна глубине проникновения
Радиус кривизны в этом соотношении вообще не присутствует. Полуширина контакта определяется следующим отношением
как и в случае контакта между двумя шарами.
Максимальное давление равно
7. Контакт между шероховатыми поверхностями
Когда два тела с шероховатыми поверхностями взаимодействуют друг с другом, то реальная площадь контакта A намного меньше, чем геометрическая площадь A0. При контакте между плоскостью со случайно распределенной шероховатостью и упругим полупространством реальная площадь контакта пропорциональна нормальной силе F и определяется следующим приближенным уравнением:
При этом Rq ? среднеквадратичное значение неровности шероховатой поверхности и. Среднее давление в реальной площади контакта
рассчитывается в хорошем приближении как половина модуля упругости E *, умноженная на среднеквадратичное значение неровности профиля поверхности Rq. Если это давление больше твердости HB материала и таким образом
то микронеровности находятся полностью в пластичном состоянии.
Для ш <2/3 поверхность при контакте деформируется только упруго. Величина ш была введена Гринвудом и Вильямсоном и носит название индекса пластичности.
2. Учет шероховатости
На основании анализа экспериментальных данных и аналитических методов расчета параметров контактирования сферы с полупространством с учетом наличия шероховатого слоя был сделан вывод о том, что расчетные параметры зависят не столько от деформации шероховатого слоя, сколько от деформации отдельных неровностей.
При разработке модели контактирования сферического тела с шероховатой поверхностью учитывались полученные ранее результаты:
– при малых нагрузках давление для шероховатой поверхности меньше рассчитанного по теории Г. Герца и распределяется по большей площади (Дж. Гринвуд, Дж. Вильямсон);
– применение широко используемой модели шероховатой поверхности в виде ансамбля тел правильной геометрической формы, вершины высот которых подчиняются определенному закону распределения, приводит к значительным ошибкам при оценке параметров контактирования, особенно при малых нагрузках (Н.Б. Демкин);
– отсутствуют пригодные для расчета параметров контактирования простые выражения и не достаточно развита экспериментальная база.
В данной работе предлагается подход, основанный на фрактальных представлениях о шероховатой поверхности как о геометрическом объекте с дробной размерностью.
Используем следующие соотношения, отражающие физические и геометрические особенности шероховатого слоя.
Модуль упругости шероховатого слоя (а не материала, из которого состоит деталь и, соответственно, шероховатый слой) Eeff, являясь величиной переменной, определяется зависимостью:
где Е0 -- модуль упругости материала; е -- относительная деформация неровностей шероховатого слоя; ж -- константа (ж = 1); D -- фрактальная размерность профиля шероховатой поверхности.
Действительно, относительное сближение характеризует в определенном смысле распределение материала по высоте шероховатого слоя и, таким образом, эффективный модуль характеризует особенности пористого слоя. При е = 1 этот пористый слой вырождается в сплошной материал со своим модулем упругости.
Полагаем, что число пятен касания пропорционально размерам контурной площади, имеющей радиус ас:
Перепишем это выражение в виде
Найдем коэффициент пропорциональности С. Пусть N = 1, тогда ас=(Smax / р)1/2, где Smax -- площадь одного пятна контакта. Откуда
Подставив полученное значение С в уравнение (2), получим:
Полагаем, что кумулятивное распределение пятен контакта с площадью, большей s, подчиняется следующему закону
Дифференциальное (по модулю) распределение числа пятен определяется выражением
Выражение (5) позволяет найти фактическую площадь контакта
Полученный результат показывает, что фактическая площадь контакта зависит от структуры поверхностного слоя, определяемой фрактальной размерностью и максимальной площадью отдельного пятна касания, расположенного в центре контурной площади. Таким образом, для оценки параметров контактирования необходимо знать деформацию отдельной неровности, а не всего шероховатого слоя. Кумулятивное распределение (4) не зависит от состояния пятен контакта. Оно справедливо, когда пятна касания могут находиться в упругом, упругопластическом и пластическом состояниях. Наличие пластических деформаций определяет эффект приспосабливаемости шероховатого слоя к внешнему воздействию. Данный эффект частично проявляется в выравнивании давления на площади касания и увеличении контурной площади. Кроме того, пластическое деформирование многовершинных выступов приводит к упругому состоянию этих выступов при небольшом числе повторных нагружений, если нагрузка не превышает первоначального значения.
По аналогии с выражением (4) запишем интегральную функцию распределения площадей пятен контакта в виде
Дифференциальная форма записи выражения (7) представляется следующим выражением:
Тогда математическое ожидание площади контакта определяется следующим выражением:
Так как фактическая площадь контакта равна
и, учитывая выражения (3), (6), (9), запишем:
Считая, что фрактальная размерность профиля шероховатой поверхности (1 < D < 2) является величиной постоянной, можно сделать вывод о том, что радиус контурной площади контакта зависит только от площади отдельной максимально деформированной неровности.
Определим Smax из известного выражения
где б -- коэффициент, равный 1 для пластического состояния контакта сферического тела с гладким полупространством, и б = 0,5 -- для упругого; r -- радиус закругления вершины неровности; дmax -- деформация неровности.
Положим, что радиус круговой (контурной) площади ас определяется модифицированной формулой Г. Герца
Тогда, подставив выражение (1) в формулу (11), получим:
Приравняв правые части выражений (10) и (12) и решая полученное равенство относительно деформации максимально нагруженной неровности, запишем:
Здесь, r -- радиус закругления вершины неровности.
При выводе уравнения (13) учитывалось, что относительная деформация наиболее нагруженной неровности равна
где дmax -- наибольшая деформация неровности; Rmax -- наибольшая высота профиля.
Для гауссовской поверхности фрактальная размерность профиля D=1,5 и при т = 1 выражение (13) имеет вид:
Считая деформацию неровностей и осадку их основания аддитивными величинами, запишем:
Тогда суммарное сближение найдем из следующего соотношения:
Таким образом, полученные выражения позволяют найти основные параметры контактирования сферического тела с полупространством с учетом шероховатости: радиус контурной площади определялся по выражениям (12) и (13), сближение? по формуле (15).
3. Эксперимент
Испытания проводились на установке для исследования контактной жесткости неподвижных стыков. Точность измерения контактных деформаций составляла 0,1-0,5 мкм.
Схема испытаний приведена на рис. 1. Методика проведения эксперимента предусматривала плавное нагружение и разгрузку образцов, имеющих определенную шероховатость. Между образцами устанавливались три шарика диаметром 2R=2,3 мм.
Были исследованы образцы, имеющие следующие параметры шероховатости (табл. 1).
При этом верхний и нижний образцы имели одинаковые параметры шероховатости. Материал образцов -- сталь 45, термообработка -- улучшение (HB 240). Результаты испытаний приведены в табл. 2.
Здесь же представлено сравнение экспериментальных данных с расчетными значениями, полученными на основе предлагаемого подхода.
Таблица 1
Параметры шероховатости
|
Номер образца |
Параметры шероховатости поверхности стальных образцов |
||||||
|
Параметры аппроксимации опорной кривой |
|||||||
Таблица 2
Сближение сферического тела с шероховатой поверхностью
|
Образец № 1 |
Образец № 2 |
||||||||
|
досн, мкм |
Эксперимент |
досн, мкм |
Эксперимент |
||||||
Сравнение экспериментальных и расчетных данных показало их удовлетворительное соответствие, что говорит о применимости рассмотренного подхода к оценке параметров контактирования сферических тел с учетом шероховатости.
На рис. 2 показана зависимость отношения ас/ас (Н) контурной площади с учетом шероховатости к площади, рассчитанной по теории Г. Герца, от фрактальной размерности.
Как видно на рис. 2, с увеличением фрактальной размерности, отражающей сложность структуры профиля шероховатой поверхности, растет величина отношения контурной площади контакта к площади, рассчитанной для гладких поверхностей по теории Г. Герца.
Рис. 1. Схема испытания: а -- нагружение; б -- расположение шариков между испытуемыми образцами
Приведенная зависимость (рис. 2) подтверждает факт увеличения площади касания сферического тела с шероховатой поверхностью по сравнению с площадью, рассчитанной по теории Г. Герца.
При оценке фактической площади касания необходимо учитывать верхний предел, равный отношению нагрузки к твердости по Бринеллю более мягкого элемента.
Площадь контурной площади с учетом шероховатости найдем, используя формулу (10):
Рис. 2. Зависимость отношения радиуса контурной площади с учетом шероховатости к радиусу герцевской площади от фрактальной размерности D
Для оценки отношения фактической площади контакта к контурной разделим выражение (7.6) на правую часть уравнения (16)
На рис. 3 показана зависимость отношения фактической площади контакта Ar к контурной площади Ас от фрактальной размерности D. С увеличением фрактальной размерности (увеличением шероховатости) отношение Ar/ Ас уменьшается.
Рис. 3. Зависимость отношения фактической площади контакта Ar к контурной площади Ас от фрактальной размерности
Таким образом, пластичность материала рассматривается не только как свойство (физико-механический фактор) материала, но и как носитель эффекта приспосабливаемости дискретного множественного контакта к внешнему воздействию. Этот эффект проявляется в некотором выравнивании давлений на контурной площади касания.
Список литературы
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
2. Воронин Н.А. Закономерности контактного взаимодействия твердых топокомпозиционных материалов с жестким сферическим штампом / Н.А. Воронин // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2007. - №5. - С. 3-8.
3. Иванов А.С. Нормальная, угловая и касательная контактные жесткости плоского стыка / А.С. Иванов // Вестник машиностроения. - 2007. - №1. С. 34-37.
4. Тихомиров В.П. Контактное взаимодействие шара с шероховатой поверхностью / Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2008. - №9. -С. 3-
5. Демкин Н.Б. Контакт шероховатых волнистых поверхностей с учетом взаимного влияния неровностей / Н.Б. Демкин, С.В. Удалов, В.А. Алексеев [и др.] // Трение и износ. - 2008. - Т.29. - №3. - С. 231-237.
6. Буланов Э.А. Контактная задача для шероховатых поверхностей / Э.А. Буланов // Техника машиностроения. - 2009. - №1(69). - С. 36-41.
7. Ланков, А.А. Вероятность упругих и пластических деформаций при сжатии металлических шероховатых поверхностей / А.А. Лакков // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2009. - №3. - С. 3-5.
8. Greenwood J.A. Contact of nominally flat surfaces / J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson // Proc. R. Soc., Series A. - 196 - V. 295. - №1422. - P. 300-319.
9. Маджумдар М. Фрактальная модель упруго-пластического контакта шероховатых поверхностей / М. Маджумдар, Б. Бхушан // Современное машиностроение. ? 1991. ? № ? С. 11-23.
10. Varadi K. Evaluation of the real contact areas, pressure distributions and contact temperatures during sliding contact between real metal surfaces / K. Varodi, Z. Neder, K. Friedrich // Wear. - 199 - 200. - P. 55-62.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Методика расчета силы взаимодействия между двумя реальными молекулами в рамках классической физики. Определение потенциальной энергии взаимодействия как функции от расстояния между центрами молекул. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Сверхкритическое состояние.
презентация , добавлен 29.09.2013
Численная оценка зависимости между параметрами при решении задачи Герца для цилиндра во втулке. Устойчивость прямоугольной пластины, с линейно-изменяющейся нагрузкой по торцам. Определение частот и форм собственных колебаний правильных многоугольников.
диссертация , добавлен 12.12.2013
Реологические свойства жидкостей в микро- и макрообъемах. Законы гидродинамики. Стационарное движение жидкости между двумя бесконечными неподвижными пластинами и движение жидкости между двумя бесконечными пластинами, двигающимися относительно друг друга.
контрольная работа , добавлен 31.03.2008
Рассмотрение особенностей контактного взаимодействия жидкостей с поверхностью твердых тел. Явление гидрофильности и гидрофобности; взаимодействие поверхности с жидкостями различной природы. "Жидкий" дисплей и видео на "бумаге"; капля в "нанотраве".
курсовая работа , добавлен 14.06.2015
Знакомство с этапами разработки тензорезисторного датчика силы с упругим элементом типа консольной балки постоянного сечения. Общая характеристика современных измерительных конструкций. Датчики веса и силы как незаменимый компонент в ряде областей.
курсовая работа , добавлен 10.01.2014
Оценка влияния малых нерегулярностей в геометрии, неоднородности в граничных условиях, нелинейности среды на спектр собственных частот и собственной функции. Построение численно-аналитического решения задачи о внутреннем контакте двух цилиндрических тел.
Определение потенциала электростатического поля и напряжения (разности потенциалов). Определение взаимодействия между двумя электрическими зарядами в соответствии с законом Кулона. Электрические конденсаторы и их емкость. Параметры электрического тока.
презентация , добавлен 27.12.2011
Назначение контактного водонагревателя, принцип его действия, особенности конструкции и составные элементы, их внутреннее взаимодействие. Тепловой, аэродинамический расчет контактного теплообменного аппарата. Выбор центробежного насоса, его критерии.
курсовая работа , добавлен 05.10.2011
Сила взаимодействия магнитного поля и проводника с током, сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Взаимодействие параллельных проводников с током, нахождение результирующей силы по принципу суперпозиции. Применение закона полного тока.
презентация , добавлен 03.04.2010
Алгоритм решения задач по разделу "Механика" курса физики общеобразовательной школы. Особенности определения характеристик электрона по законам релятивистской механики. Расчет напряженности электрических полей и величины заряда по законам электростатики.
480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников
Кравчук Александр Степанович. Теория контактного взаимодействия деформируемых твердых тел с круговыми границами с учетом механических и микрогеометрических характеристик поверхностей: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04: Чебоксары, 2004 275 c. РГБ ОД, 71:05-1/66
Введение
1. Современные проблемы механики контактного взаимодействия 17
1.1. Классические гипотезы, применяемые при решении контактньгх задач ддя гладких тел 17
1.2. Влияние ползучести твердых тел на их формоизменение в области контакта 18
1.3. Оценка сближения шероховатых поверхностей 20
1.4. Анализ контактного взаимодействия многослойных конструкций 27
1.5. Взаимосвязь механики и проблем трения и изнашивания 30
1.6. Особенности применения моделирования в трибологии 31
Выводы по первой главе 35
2. Контактное взаимодействие гладких цилиндрических тел 37
2.1. Решение контактной задачи для гладких изотропных диска и пластины с цилиндрической полостью 37
2.1.1. Общие формулы 38
2.1.2. Вывод краевого условия для перемещений в области контакта 39
2.1.3. Интегральное уравнение и его решение 42
2.1.3.1. Исследование полученного уравнения 4 5
2,1.3.1.1. Приведение сингулярного интегро-дифференциального уравнения к интегральному уравнению с ядром, имеющим логарифмическую особенность 46
2.1.3.1.2. Оценка нормы линейного оператора 49
2.1.3.2. Приближенное решение уравнения 51
2.2. Расчет неподвижного соединения гладких цилиндрических тел 58
2.3. Определение перемещения в подвижном соединении цилиндрических тел 59
2.3.1. Решение вспомогательной задачи для упругой плоскости 62
2.3.2. Решение вспомогательной задачи для упругого диска 63
2.3.3. Определение максимального нормального радиального перемещения 64
2.4. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных исследования контактных напряжений при внутреннем касании цилиндров близких радиусов 68
2.5. Моделирование пространственного контактного взаимодействия системы соосных цилиндров конечных размеров 72
2.5.1. Постановка задачи 73
2.5.2. Решение вспомогательных двумерных задач 74
2.5.3. Решение исходной задачи 75
Выводы и ос новные результаты второй главы 7 8
3. Контактные задачи для шероховатых тел и их решение с помощью корректировки кривизны деформированной поверхности 80
3.1. Пространственная нелокальная теория. Геометрические предположения 83
3.2. Относительное сближение двух параллельных кругов, определяемое деформацией шероховатости 86
3.3. Метод аналитической оценки влияния деформирования шероховатости 88
3.4. Определение перемещений в области контакта 89
3.5. Определение вспомогательных коэффициентов 91
3.6. Определение размеров эллиптической области контакта 96
3.7. Уравнения для определения области контакта близкой к круговой 100
3.8. Уравнения для определения области контакта близкой к линии 102
3.9. Приближенное определение коэффициента а в случае области контакта в виде круга или полосы
3.10. Особенности усреднения давлений и деформаций при решении двумерной задачи внутреннего контакта шероховатых цилиндров близких радиусов 1и5
3.10.1. Вывод интегро-дифференциального уравнения и его решение в случае внутреннего контакта шероховатых цилиндров 10"
3.10.2. Определение вспомагательных коэффициентов
Выводы и основные результаты третьей главы
4. Решение контактных задач вязкоупругости для гладких тел
4.1. Основные положения
4.2. Анализ принципов соответствия
4.2.1. Принцип Вольтерра
4.2.2. Постоянный коэффициент поперечного расширения при деформации ползучести 123
4.3. Приближенное решение двумерной контактной задачи линейной ползучести для гладких цилиндрических тел
4.3.1. Общий случай операторов вязкоупругости
4.3.2. Решение для монотонно возрастающей области контакта 128
4.3.3. Решение для неподвижного соединения 129
4.3.4. Моделирование контактного взаимодействия в случае
однородно стареющей изотропной пластины 130
Выводы и основные результаты четвертой главы 135
5. Ползучесть поверхности 136
5.1. Особенности контактного взаимодействия тел с низким пределом текучести 137
5.2. Построение модели деформирования поверхности с учетом ползучести в случае эллиптической области контакта 139
5.2.1. Геометрические предположения 140
5.2.2. Модель ползучести поверхности 141
5.2.3. Определение средних деформаций шероховатого слоя и средних давлений 144
5.2.4. Определение вспомогательных коэффициентов 146
5.2.5. Определение размеров эллиптической области контакта 149
5.2.6. Определение размеров круговой области контакта 152
5.2.7. Определение ширины области контакта в виде полосы 154
5.3. Решение двумерной контактной задачи для внутреннего касания
шероховатых цилиндров с учетом ползучести поверхности 154
5.3.1. Постановка задачи для цилиндрических тел. Интегро-
дифференциальное уравнение 156
5.3.2. Определение вспомагательных коэффициентов 160
Выводы и основные результаты пятой главы 167
6. Механика взаимодействия цилиндрических тел с учетом наличия покрытий 168
6.1. Вычисление эффективных модулей в теории композитов 169
6.2. Построение самосогласованного метода вычисления эффективных коэффициентов неоднородных сред с учетом разброса физико-механических свойств 173
6.3. Решение контактной задачи для диска и плоскости с упругим композиционным покрытием на контуре отверстия 178
6.3. 1 Постановка задачи и основные формулы 179
6.3.2. Вывод краевого условия для перемещений в области контакта 183
6.3.3. Интегральное уравнение и его решение 184
6.4. Решение задачи в случае ортотропного упругого покрытия с цилиндрической анизотропией 190
6.5. Определение влияния вязкоупругого стареющего покрытия на изменение параметров контакта 191
6.6. Анализ особенностей контактного взаимодействия многокомпонентного покрытия и шероховатости диска 194
6.7. Моделирование контактного взаимодействия с учетом тонких металлических покрытий 196
6.7.1. Контакт шара с пластическим покрытием и шероховатого полупространства 197
6.7.1.1. Основные гипотезы и модель взаимодействия твердых тел 197
6.7.1.2. Приближенное решение задачи 200
6.7.1.3. Определение максимального контактного сближения 204
6.7.2. Решение контактной задачи для шероховатого цилиндра и тонкого металлического покрытия на контуре отверстия 206
6.7.3. Определение контактной жесткости при внутреннем контакте цилиндров 214
Выводы и основные результаты шестой главы 217
7. Решение смешанных краевых задач с учетом износа поверхностей взаим одействующих тел 218
7.1. Особенности решения контактной задачи с учетом изнашивания поверхностей 219
7.2. Постановка и решение задачи в случае упругого деформирования шероховатости 223
7.3. Метод теоретической оценки износа с учетом ползучести поверхности 229
7.4. Метод оценки износа с учетом влияния покрытия 233
7.5. Заключительные замечания по постановке плоских задач с учетом износа 237
Выводы и основные результаты седьмой главы 241
Заключение 242
Список использованных источников
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В настоящее время значительные усилия инженеров в нашей стране и за рубежом направлены на поиск путей определения контактных напряжений взаимодействующих тел, так как для перехода от расчета изнашивания материалов к задачам конструкционной износостойкости решающую роль имеют контактные задачи механики деформируемого твердого тела.
Следует отметить, что наиболее широкие исследования контактного взаимодействия выполнены с помощью аналитических методов. При этом применение численных методов значительно расширяет возможности анализа напряженного состояния в области контакта с учетом свойств поверхностей шероховатых тел.
Необходимость учета структуры поверхности объясняется тем, что выступы, образующиеся при технологической обработке имеют различное распределение высот и касание микронеровностей происходит только на отдельных площадках, образующих фактическую площадь контакта. Поэтому при моделировании сближения поверхностей необходимо использовать параметры, характеризующие реальную поверхность.
Громоздкость математического аппарата, применяемого при решении контактных задач для шероховатых тел, необходимость использования мощных вычислительных средств существенно сдерживают применение имеющихся теоретических разработок при решении прикладных задач. И, несмотря на достигнутые успехи, пока трудно получить удовлетворительные результаты с учетом особенностей макро- и микрогеометрии поверхностей взаимодействующих тел, когда элемент поверхности, на котором устанавливаются характеристики шероховатости твердых тел, соизмерим с областью контакта.
Все это требует разработки единого подхода к решению контактных задач, наиболее полно учитывающего как геометрию взаимодействующих тел, микрогеометрические и реологические характеристики поверхностей, характеристики их износостойкости, так и возможность получения приближенного решения поставленной задачи с наименьшим количеством независимых параметров.
Контактные задачи для тел с круговыми границами составляют теоретическую основу расчета таких элементов машин как подшипники, шарнирные соединения, соединения с натягом. Поэтому данные задачи обычно выбираются в качестве модельных при проведении подобных исследований.
Интенсивные работы, проводившиеся в последние годы в Белорусском национальном техническом унивеуиіі сі е. Дьшк іиіікишеньї
на решение этой проблемы и составляют осної у настдзддодоод^ы.
Связь работы с круппыми научными программами, темами.
Исследования выполнены в соответствии со следующими темами: "Разработать метод расчета контактных напряжений при упругом контактном взаимодействии цилиндрических тел, не описываемом теорией Герца" (Министерство образования РБ, 1997 г., № ГР 19981103); "Влияние микронеровностей соприкасающихся поверхностей на распределение контактных напряжений при взаимодействии цилиндрических тел, имеющих близкие по величине радиусы" (Белорусский республиканский фонд фундаментальных исследований, 1996 г., № ГР 19981496); "Разработать метод прогнозирования износа опор скольжения с учетом топографических и реологических характеристик поверхностей взаимодействующих деталей, а также наличия антифрикционных покрытий" (Министерство образования РБ, 1998 г., № ГР 1999929); "Моделирование контактного взаимодействия деталей машин с учетом случайности реологических и геометрических свойств поверхностного слоя" (Министерство образования РБ, 1999 г. №ГР2000Г251)
Цель и задачи исследования. Разработка единого метода теоретического прогнозирования влияния геометрических, реологических характеристик шероховатости поверхности твердых тел и наличия покрытий на напряженное состояние в области контакта, а также установление на этой основе закономерностей изменения контактной жесткости и износостойкости сопряжений на примере взаимодействия тел с круговыми границами.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие проблемы:
Разработать метод приближенного решения задач теории упругости и вязкоупругости о контактном взаимодействии цилиндра и цилиндрической полости в пластине с использованием мипимального количества независимых параметров.
Разработать нелокальную модель контактного взаимодействия тел
с учетом микрогеометрических, реологических характеристик
поверхностей, а также наличия пластических покрытий.
Обосновать подход, позволяющий корректировать кривизну
взаимодействующих поверхностей за счет деформации шероховатости.
Разработать метод приближенного решения контактных задач для диска и изотропного, ортотропного с цилиндрической анизотропией и вязкоупругого стареющего покрытий на отверстии в пластине с учетом их поперечной деформируемости.
Построить модель и определить влияние микрогеометрических особенностей поверхности твердого тела на контактное взаимодействие с пластическим покрытием на контртеле.
Разработать метод решения задач с учетом износа цилиндрических тел, качества их поверхностей, а также наличия антифрикционных покрытий.
Объектом и предметом исследования являются неклассические смешанные задачи теории упругости и вязкоупругости для тел с круговыми границами с учетом нелокальности топографических и реологических характеристик их поверхностей и покрытий, на примере которых в настоящей работе разработан комплексный метод анализа изменения напряженного состояния в области контакта в зависимости от показателей качества их поверхностей.
Гипотеза. При решении поставленных граничных задач с учетом качества поверхности тел используется феноменологический подход, согласно которому деформация шероховатости рассматривается как деформация промежуточного слоя.
Задачи с изменяющимися во времени краевыми условиями рассматриваются как квазистатические.
Методология и методы проведенного исследования. При проведении исследований использовались основные уравнения механики деформируемого твердого тела, трибологии, функционального анализа. Разработан и обоснован метод, позволяющий корректировать кривизну нагруженных поверхностей за счет деформаций микронеровностей, что существенно упрощает проводимые аналитические преобразования и позволяет получить аналитические зависимости для размера площади контакта и контактных напряжений с учетом указанных параметров без использования предположения о малости величины базовой длины измерения характеристик шероховатости относительно размеров области контакта.
При разработке метода теоретического прогнозирования износа поверхностей наблюдаемые макроскопические явления рассматривались как результат проявления статистически усредненных связей.
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается сравнениями полученных теоретических решений и результатов экспериментальных исследований, а также сравнением с результатами некоторых решений, найденных другими методами.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Впервые на примере контактного взаимодействия тел с круговыми границами проведено обобщение исследований и разработан единый метод комплексного теоретического прогнозирования влияния нелокальных геометрических, реологических характеристик шероховатых поверхностей взаимодействующих тел и наличия покрытий на напряженное состояние, контактную жесткость и износостойкость сопряжений.
Комплекс проведенных исследований позволил представить в диссертации теоретически обоснованный метод решения задач механики твердого тела, основанный на последовательном рассмотрении макроскопически наблюдаемых явлений, как результата проявления статистически усредненных по значительному участку контактной поверхности микроскопических связей.
В рамках решения поставленной проблемы:
Предложена пространственная нелокальная модель контактного
взаимодействия твердых тел с изотропной шероховатостью поверхности.
Разработан метод определения влияния характеристик поверхности твердых тел на распределение напряжений.
Исследовано интегро-дифференциальное уравнение, получаемое в контактных задачах для цилиндрических тел, что позволило определить условия существования и единственности его решения, а также точность построенных приближений.
Практическая (экономическая, социальная) значимость полученных результатов. Результаты теоретического исследования доведены до приемлемых для практического использования методик и могут быть непосредственно применены при проведении инженерных расчетов подшипников, опор скольжения, зубчатых передач. Использование предлагаемых решений позволит сократить время создания новых машиностроительных конструкций, а также с большой точностью прогнозировать их служебные характеристики.
Некоторые результаты выполненных исследований были внедрены на Н П П «Циклопривод», НПО «Алтех».
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
Приближенное решите задачи механики деформированного
твердого тела о контактном взаимодействии гладких цилиндра и
цилиндрической полости в пластине, с достаточной точностью
описывающих исследуемое явление при использовании минимального
количества независимых параметров.
Решение нелокальных краевых задач механики деформируемого твердого тела с учетом геометрических и реологических характеристик их поверхностей на основе метода, позволяющего корректировать кривизну взаимодействующих поверхностей за счет деформации шероховатости. Отсутствие предположения о малости геометрических размеров базовых длин измерения шероховатости по сравнению с размерами области контакта позволяет переходить к разработке многоуровневых моделей деформирования поверхности твердых тел.
Построение и обоснование метода расчета перемещений границы цилиндрческих тел, обусловленных деформацией поверхпостных слоев. Полученные результаты позволяют разработать теоретический подход,
определяющий контактную жесткость сопряжений с учетом совместного влияния всех особенностей состояния поверхностей реальных тел.
Моделирование вязкоупругого взаимодействия диска и полости в
пластине из стареющего материала, простота реализации результатов
которого позволяет использовать их для широкого круга прикладных
задач.
Приближенное решение контактных задач для диска и изотропного, ортотропного с цилиндрической анизотропией, а также вязкоупругого стареющего покрытий на отверстии в пластине с учетом их поперечной деформируемости. Это дает возможность оценить влияние композиционных покрытий с низким модулем упругости на нагруженность сопряжений.
Построение нелокальной модели и определение влияния характеристик шероховатости поверхности твердого тела на контактное взаимодействие с пластическим покрытием на контртеле.
Разработка метода решения краевых задач с учетом износа цилиндрических тел, качества их поверхностей, а также наличия антифрикционных покрытий. На этой основе предложена методология, сосредотачивающая математические и физические методы при исследовании износостойкости, что дает возможность вместо исследований реальных узлов трения делать основной упор на исследовании явлений, происходящих в области контакта.
Личный вклад соискателя. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично.
Апробация результатов диссертации. Результаты исследований, приведенных в диссертации были представлены на 22 международных конференциях и конгрессах, а также конференциях стран СНГ и республиканских, среди них: "Понтрягинские чтения - 5" (Воронеж, 1994, Россия), "Математические модели физических процессов и их свойства" (Таганрог, 1997, Россия), Nordtrib"98 (Ebeltoft, 1998, Дания), Numerical mathematics and computational mechanics - "NMCM"98" (Miskolc, 1998, Венгрия), "Modelling"98" (Praha, 1998, Чехия), 6th International Symposium on Creep and Coupled Processes (Bialowieza, 1998, Польша), "Вычислительные методы и производство: реальность, проблемы, перспективы" (Гомель, 1998, Беларусь), "Полимерные композиты 98" (Гомель, 1998, Беларусь), "Mechanika"99" (Kaunas, 1999, Литва), П Белорусский конгресс по теоретической и прикладной механике (Минск, 1999, Беларусь), Internat. Conf. On Engineering Rheology, ICER"99 (Zielona Gora, 1999, Польша), "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте" (Санкт-Петербург, 1999, Россия), International Conference on Multifield Problems (Stuttgart, 1999, Германия).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка использованных источников и приложения. Полный объем диссертации составляет 2-М" страниц, в том числе объем, занимаемый иллюстрациями - 14 страниц, таблицами - 1 страницу. Количество использованных источников включает 310 наименований.
Влияние ползучести твердых тел на их формоизменение в области контакта
Практическое получение аналитических зависимостей для напряжений и перемещений в замкнутой форме для реальных объектов даже в простейших случаях сопряжено с существенными трудностями. Вследствие этого при рассмотрении контактных задач принято прибегать к идеализации. Так, считается, что если размеры самих тел достаточно велики по сравнению с размерами области контакта, то напряжения в этой зоне слабо зависят от конфигурации тел вдали от области контакта, а также способа их закрепления. При этом напряжения с достаточно хорошей степенью достоверности можно вычислить, рассматривая каждое тело как бесконечную упругую среду, ограниченную плоской поверхностью, т.е. как упругое полупространство .
Поверхность каждого из тел предполагается топографически гладкой на микро- и макроуровне. На микроуровне это означает отсутствие или неучет микронеровностей контактирующих поверхностей, которые обусловили бы неполное прилегание поверхностей контакта. Поэтому реальная область контакта, которая образуется на вершинах выступов, значительно меньше теоретической. На макроуровне профили поверхностей считаются непрерывными в зоне контакта вместе со вторыми производными .
Указанные предположения впервые были использованы Герцем при решении контактной задачи. Получаемые на основе его теории результаты удовлетворительно описывают деформированное состояние идеально упругих тел в отсутствии трения по поверхности контакта, однако неприменимы, в частности, к низкомодульным материалам. Кроме того, условия, в которых используется теория Герца, нарушаются при рассмотрении контакта согласованных поверхностей. Это объясняется тем, что вследствие приложения нагрузки размеры области контакта быстро растут и могут достигать величин, сравнимых с характерными размерами контактирующих тел, так что тела не могут рассматриваться как упругие полупространства .
Особый интерес при решении контактных задач вызывает учет сил трения. Вместе с тем последнее на поверхности раздела двух тел согласованной формы, находящихся в условиях нормального контакта;, играет роль только при относительно высоких значениях коэффициента трения .
Развитие теории контактного взаимодействия твердых тел связано с отказом от перечисленных выше гипотез. Оно осуществлялось по следующим основным направлениям: усложнение физической модели деформирования твердых тел и (или) отказом от гипотез гладкости и однородности их поверхностей.
Интерес к ползучести резко возрос в связи с развитием техники. В числе первых исследователей, обнаруживших явление деформирования материалов во времени при постоянной нагрузке, были Вика, Вебер, Кольрауш . Максвелл впервые представил закон деформирования во времени в виде дифференциального уравнения. Несколько позднее Болыгман создал общий аппарат для описания явлений линейной ползучести. Этот аппарат, значительно развитый впоследствии Вольтерра является в настоящее время классическим разделом теории интегральных уравнений.
До середины прошлого столетия элементы теории деформирования материалов во времени находили малое применение в практике расчетов инженерных конструкций . Однако с развитием энергетических установок, химико-технологических аппаратов, работающих при более высоких температурах и давлениях, стал необходим учет явления ползучести. Запросы машиностроения привели к огромному размаху экспериментальных и теоретических исследований в области ползучести . Вследствие появившейся необходимости в точных расчетах явление ползучести стали учитывать даже в таких материалах, как древесина и грунты ,
Изучение ползучести при контактном взамодействии твердых тел важно по ряду причин прикладного и принципиального характера. Так, даже при постоянных нагрузках форма взаимодействующих тел и их напряженное состояние, как правило, изменяется , что необходимо учитывать при проектировании машин.
Качественное объяснение происходящих при ползучести процессов можно дать, опираясь на основные представления теории дислокаций . Так, в строении кристаллической решетки могут встречаться различные местные дефекты. Эти дефекты называются дислокациями. Они перемещаются, взаимодействуют друг с другом и вызывают различного типа скольжения в металле. Результатом движения дислокации является сдвиг на одно межатомное расстояние . Напряженное состояние тела облегчает движение дислокаций, снижая потенциальные барьеры .
Временные законы ползучести зависят от структуры материала, которая меняется с течением ползучести. Экспериментально получена экспоненциальная зависимость скоростей установившейся ползучести от напряжений при относительно высоких напряжениях (-10" и более от модуля упругости). В значительном интервале напряжений экспериментальные точки на логарифмической сетке обычно группируются около некоторой прямой линии. Это означает, что в рассматриваемом интервале напряжений (-10" -10" от модуля упругости) имеется степенная зависимость скоростей деформаций от напряжения . Следует отметить, что при низких напряжениях (10" и менее от модуля упругости) эта зависимость линейная. В ряде работ приведены различные экспериментальные данные по механическим свойствам различных материалов в широком интервале температур и скоростей деформирования .
Интегральное уравнение и его решение
Отметим, что если упругие постоянные диска и пластины равны, то ух= О и данное уравнение становится интегральным уравнением первого рода. Особенности теории аналитических функций позволяют в этом случае, используя дополнительные условия, получить единственное решение . Это так называемые формулы обращения сингулярных интегральных уравнений, позволяющие получить решение поставленной задачи в явном виде. Особенность состоит в том, что в теории краевых задач обычно рассматриваются три случая (когда V составляет часть границы тел): решение имеет особенность на обоих концах области интегрирования; решение имеет особенность на одном из концов области интегрирования, а на втором обращается в ноль; решение обращается в ноль на обоих концах. В зависимости от выбора того или иного варианта строится общий вид решения, в состав которого в первом случае входит общее решение однородного уравнения. Задаваясь поведением решения на бесконечности и угловых точках области контакта, исходя из физически обоснованных предположений, строится единственное решение, удовлетворяющее указанным ограничениям .
Таким образом, единственность решения указанной задачи понимается в смысле принятых ограничений. Следует отметить, что при решении контактных задач теории упругости наиболее распространенными ограничениями являются требования обращения в ноль решения на концах области контакта и предположение об исчезновении напряжений и вращений на бесконечности . В случае, когда область интегрирования составляет всю границу области (тела), то единственность решения гарантируется формулами Коши . При этом наиболее простым и распространенным методом решения прикладных задач в этом случае является представление интеграла Коши в виде ряда .
Следует отметить, что в приведенных выше общих сведениях из теории сингулярных интегральных уравнений никак не оговариваются свойства контуров исследуемых областей, т.к. в данном случае известно, что дуга окружности (кривая, вдоль которой выполняется интегрирование) удовлетворяет условию Ляпунова . Обобщение теории двумерных краевых задач в случае более общих предположений на гладкость границы областей можно найти в монографии ИИ. Данилюка .
Наибольший интерес представляет общий случай уравнения, когда 7i 0. Отсутствие методов построения точного решения в этом случае приводит к необходимости применения методов численного анализа и теории приближений. Фактически, как это уже отмечалось, численные методы решения интегральных уравнений обычно основаны на аппроксимации решения уравнения функционалом определенного вида. Объем накопленных результатов в этой области позволяет выделить основные критерии, по которым эти методы обычно сравниваются при их использовании в прикладных задачах . Прежде всего простота физической аналогии предлагаемого подхода (обычно это в том или ином виде метод суперпозиции системы определенных решений); объем необходимых подготовительных аналитических вычислений, используемых для получения соответствующей системы линейных уравнений; необходимый размер системы линейных уравнений для достижения требуемой точности решения; использование численного метода решения системы линейных уравнений, максимально учитывающего особенности ее структуры и, соответственно, позволяющего с наибольшей скоростью получить численный результат . Следует отметить, что последний критерий играет существенную роль лишь в случае систем линейных уравнений большого порядка. Все это определяет эффективность используемого подхода. Вместе с тем следует констатировать, что к настоящему времени существуют лишь отдельные исследования, посвященные сравнительному анализу и возможным упрощениям при решении практических задач с помощью различных аппроксимаций .
Отметим, что интегро-дифферешщальное уравнение может быть приведено к виду: V дуга окружности единичного радиуса, заключенная между двумя точками с угловыми координатами -сс0 и а0, а0 є(0,л/2); у1 - вещественный коэффициент, определяемый упругими характеристиками взаимодействующих тел (2.6); f(t)- известная функция, определяемая приложенными нагрузками (2.6). Кроме того, напомним, что стг(т) обращается в нуль на концах отрезка интегрирования.
Относительное сближение двух параллельных кругов, определяемое деформацией шероховатости
Задача о внутреннем сжатии круговых цилиндров близких радиусов впервые была рассмотрена И.Я. Штаерманом. При решении поставленной им задачи принято, что внешняя нагрузка, действующая на внутренний и внешний цилиндры по их поверхностям, осуществляется в виде нормального давления, диаметрально противоположного давлению контакта. При выводе уравнения задачи использовано решение о сжатии цилиндра двумя противоположными силами и решение аналогичной задачи для внешности кругового отверстия в упругой среде . Им было получено явное выражение для перемещений точек контура цилиндра и отверстия через интегральный оператор от функции напряжений. Это выражение использовалось рядом авторов для оценки контактной жесткости .
Используя эвристическую аппроксимацию для распределения контактных напряжений для схемы И.Я. Штаермана, А.Б. Милов получил упрощенную зависимость для максимальных контактных перемещений. Однако им было установлено, что полученная теоретическая оценка существенно отличается от экспериментальных данных. Так, перемещение, определенное из эксперимента, оказалось меньше теоретического в 3 раза. Этот факт объясняется автором существенным влиянием особенностей пространственной схемы нагружения и предлагается коэффициент перехода от трехмерной задачи к плоской .
Аналогичный подход использовал М.И. Теплый, задавшись приближенным решением несколько иного вида . Следует отметить, что в этой работе, кроме того, получено линейное дифференциальное уравнение второго порядка для определения контактных перемещений в случае схемы, приведенной на Рисунке 2.1. Указанное уравнение следует непосредственно из способа получения интегро-дифференциального уравнения для определения нормальных радиальных напряжений. При этом сложность правой части определяет громоздкость результирующего выражения для перемещений. Кроме того, в этом случае остаются неизвестными величины коэффициентов в решении соответствующего однородного уравнения. Вместе с тем отмечается, что, не устанавливая значений постоянных, можно определить сумму радиальных перемещений диаметрально противоположных точек контуров отверстия и вала .
Таким образом, несмотря на актуальность задачи определения контактной жесткости анализ литературных источников не позволил выявить метода ее решения, позволяющего обоснованно установить величины наибольших нормальных контактных перемещений, обусловленных деформацией поверхностных слоев без учета деформаций взаимодействующих тел в целом, что объясняется отсутствием формализованного определения понятия "контактная жесткость".
При решении поставленной задачи будем исходить из следующих определений: перемещения под действием главного вектора сил (без учета особенностей контактного взаимодействия) будем называть сближение (удаление) центра диска (отверстия) и его поверхности, не приводящее к изменению формы его границы. Т.е. это жесткость тела в целом. Тогда контактная жесткость это максимальные перемещения центра диска (отверстия) без учета перемещения упругого тела под действием главного вектора сил. Данная система понятий позволяет разделить перемещения;, полученные из решения задачи теории упругости, и показывает, что оценка контактной жесткости цилиндрических тел, полученная А.Б. Миловьш из решения ИЛ. Штаермана , верна только для данной схемы нагружения.
Рассмотрим задачу, поставленную в п. 2.1. (Рисунок 2.1) с краевым условием (2.3). Учитывая свойства аналитических функций, из (2.2) имеем, что :
Важно подчеркнуть, что первые слагаемые (2.30) и (2.32) определяются решением задачи о сосредоточенной силе в бесконечной области. Это объясняет наличие логарифмической особенности. Вторые слагаемые (2.30), (2,32) определяются отсутствием касательных напряжений на контуре диска и отверстия;, а также условием аналитического поведения соответствующих слагаемых комплексного потенциала в нуле и на бесконечности. С другой стороны суперпозиция (2.26) и (2.29) ((2.27) и (2.31)) дает нулевой главный вектор сил, действующих на контур отверстия (или диска). Все это позволяет выразить через третье слагаемое величину радиальных перемещений в произвольном фиксированном направлении С, в пластине и в диске. Для этого найдем разность Фпд(г), (z) и Фп 2(2), 4V2(z):
Приближенное решение двумерной контактной задачи линейной ползучести для гладких цилиндрических тел
Идея о необходимости учета микроструктуры поверхности сжимаемых тел принадлежит И.Я. Штаерману . Им введена модель комбинированного основания, согласно которой в упругом теле, кроме перемещений, вызванных действием нормального давления и определяемых решением соответствующих задач теории упругости, возникают дополнительные нормальные перемещения, обусловленные чисто местными деформациями, зависящими от микроструктуры контактирующих поверхностей. И.Я.Штаерман предположил, что дополнительное перемещение пропорционально нормальному давлению, причем коэффициент пропорциональности является для данного материала величиной постоянной. В рамках этого подхода им впервые было получено уравнение плоской контактной задачи для упругого шероховатого тела, т.е. тела, имеющего слой повышенной податливости.
В ряде работ предполагается, что дополнительные нормальные перемещения за счет деформации микровыступов контактирующих тел пропорциональны макронапряжению в некоторой степени . Это основано на приравнивании усредненных значений перемещений и напряжений в пределах базовой длины измерения шероховатости поверхности. Однако, несмотря на достаточно хорошо разработанный аппарат решения задач подобного класса, ряд трудностей методического характера не преодолен. Так, используемая гипотеза о степенной связи напряжений и перемещений поверхностного слоя с учетом реальных характеристик микрогеометрии верна при малых базовых длинах, т.е. высокой чистоте поверхности, а, следовательно, при справедливости гипотезы о топографической гладкости на микро и макроуровне . Следует также отметить существенное усложнение уравнения при использовании подобного подхода и невозможность описания с его помощью влияния волнистости.
Несмотря на достаточно хорошо разработанный аппарат решения контактных задач с учетом слоя повышенной податливости , остался ряд вопросов методического характера, затрудняющих его применение в инженерной практике расчетов. Как уже отмечалось, шероховатость поверхности имеет вероятностное распределение высот. Соизмеримость размеров элемента поверхности, на котором определяются характеристики шероховатости, с размерами области контакта является главной трудностью при решении поставленной задачи и определяет некорректность применения некоторыми авторами непосредственной связи между макродавлениями и деформациями шероховатости в виде: где s - точка поверхности.
Следует отметить также решение поставленной задачи с использованием предположения о трансформации вида распределения давления в параболический, если деформациями упругого полупространства в сравнении с деформациями шероховатого слоя можно пренебречь. Этот подход приводит к существенному усложнению интегрального уравнения и позволяет получать только численные результаты. Кроме того, авторами использовалась уже упомянутая гипотеза (3.1).
Необходимо упомянуть, попытку разработки инженерного метода учета влияния шероховатости при внутреннем касании цилиндрических тел , основанного на предположении о том, что упругие радиальные перемещения в области контакта, обусловленные деформацией микро-неровности, постоянны и пропорциональны среднему контактному напряжению т в некоторой степени к. Однако, несмотря на свою очевидную простоту, недостатком этого подхода является то, что при таком способе учета шероховатости ее влияние постепенно возрастает с возрастанием нагрузки, что не наблюдается на практике (Рисунок 3 Л,).