ბევრი სტუდენტი ჩერდება ამ ტიპის განტოლებებზე. ამავდროულად, თავად ამოცანები არ არის რთული - საკმარისია უბრალოდ შეასრულოთ ცვლადის კომპეტენტური ჩანაცვლება, რისთვისაც უნდა ისწავლოთ სტაბილური გამონათქვამების იდენტიფიცირება.
ამ გაკვეთილის გარდა, თქვენ ნახავთ საკმაოდ მოცულობით დამოუკიდებელ ნამუშევარს, რომელიც შედგება ორი ვარიანტისგან, თითოეული 6 პრობლემისგან.
დაჯგუფების მეთოდი
დღეს გავაანალიზებთ ორ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელთაგან ერთის ამოხსნა შეუძლებელია და საჭიროებს სპეციალურ გარდაქმნებს, ხოლო მეორე... თუმცა ყველაფერს ერთდროულად არ გეტყვით. ნახეთ ვიდეო, გადმოწერეთ დამოუკიდებელი ნამუშევარი - და ისწავლეთ რთული პრობლემების გადაჭრა.
ასე რომ, საერთო ფაქტორების დაჯგუფება და ფრჩხილებიდან ამოღება. გარდა ამისა, მე გეტყვით, თუ რა ხარვეზებს ატარებს ლოგარითმების განსაზღვრის დომენი და რამდენად შეიძლება მცირე შენიშვნები განმარტებების დომენზე მნიშვნელოვნად შეცვალოს როგორც ფესვები, ასევე მთელი ამოხსნა.
დავიწყოთ დაჯგუფებიდან. ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ შემდეგი ლოგარითმული განტოლება:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )
უპირველეს ყოვლისა, გაითვალისწინეთ, რომ x 2 − 3x შეიძლება იყოს ფაქტორიზირებული:
ჟურნალი 2 x (x − 3)
მაშინ დაიმახსოვრე მშვენიერი ფორმულა:
log a fg = log a f + log a g
უბრალოდ სწრაფი შენიშვნა: ეს ფორმულა მშვენივრად მუშაობს, როდესაც a, f და g ჩვეულებრივი რიცხვებია. მაგრამ როდესაც ისინი ჩანაცვლდება ფუნქციებით, ეს გამონათქვამები წყვეტს თანაბარს. წარმოიდგინეთ ეს ჰიპოთეტური სიტუაცია:
ვ< 0; g < 0
ამ შემთხვევაში, ნამრავლი fg იქნება დადებითი, შესაბამისად, log a (fg) იარსებებს, მაგრამ log a f და log a g ცალ-ცალკე არ იარსებებს და ჩვენ ვერ შევძლებთ ასეთ ტრანსფორმაციას.
ამ ფაქტის იგნორირება გამოიწვევს განმარტების ფარგლების შევიწროებას და, შედეგად, ფესვების დაკარგვას. ამიტომ, სანამ ასეთ ტრანსფორმაციას განახორციელებთ, წინასწარ უნდა დარწმუნდეთ, რომ f და g ფუნქციები დადებითია.
ჩვენს შემთხვევაში ყველაფერი მარტივია. ვინაიდან თავდაპირველი განტოლება შეიცავს ფუნქციას log 2 x, შემდეგ x > 0 (ბოლოს და ბოლოს, ცვლადი x არის არგუმენტში). ასევე არის ჟურნალი 2 (x − 3), ამიტომ x − 3 > 0.
მაშასადამე, ფუნქციის ჟურნალში 2 x (x − 3) თითოეული ფაქტორი იქნება ნულზე მეტი. ამრიგად, თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაშალოთ პროდუქტი ოდენობით:
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)
log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0
ერთი შეხედვით, შეიძლება ჩანდეს, რომ ყველაფერი უფრო ადვილი არ არის. პირიქით: ვადების რაოდენობა მხოლოდ გაიზარდა! იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა ვიმოქმედოთ, მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები:
ჟურნალი 2 x = a
ჟურნალი 2 (x − 3) = ბ
a · b + 1 − a − b = 0
ახლა დავაჯგუფოთ მესამე ტერმინი პირველთან:
(a · b − a ) + (1 − b ) = 0
a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0
გაითვალისწინეთ, რომ ორივე პირველი და მეორე ფრჩხილები შეიცავს b − 1-ს (მეორე შემთხვევაში მოგიწევთ ფრჩხილიდან „მინუსის“ ამოღება). მოდით გავხადოთ ჩვენი კონსტრუქციის ფაქტორი:
a (1 b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1) (a 1 − 1) = 0
ახლა კი გავიხსენოთ ჩვენი მშვენიერი წესი: ნამრავლი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
გავიხსენოთ რა არის b და a. ჩვენ ვიღებთ ორ მარტივ ლოგარითმულ განტოლებას, რომლებშიც რჩება მხოლოდ ლოგის ნიშნების მოშორება და არგუმენტების გათანაბრება:
ჟურნალი 2 x = 1 ⇒ ჟურნალი 2 x = ჟურნალი 2 2 ⇒ x 1 =2;
ჟურნალი 2 (x − 3) = 1 ⇒ ჟურნალი 2 (x − 3) = ჟურნალი 2 2 ⇒ x 2 = 5
ჩვენ მივიღეთ ორი ფესვი, მაგრამ ეს არ არის ორიგინალური ლოგარითმული განტოლების გამოსავალი, არამედ მხოლოდ პასუხის კანდიდატები. ახლა მოდით შევამოწმოთ განმარტების დომენი. პირველი არგუმენტისთვის:
x > 0
ორივე ფესვი აკმაყოფილებს პირველ მოთხოვნას. გადავიდეთ მეორე არგუმენტზე:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
მაგრამ აქ x = 2 არ გვაკმაყოფილებს, მაგრამ x = 5 საკმაოდ კარგად გვერგება. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი პასუხია x = 5.
გადავიდეთ მეორე ლოგარითმულ განტოლებაზე. ერთი შეხედვით, ეს ბევრად უფრო მარტივია. თუმცა მისი გადაჭრის პროცესში განვიხილავთ დახვეწილ პუნქტებს, რომლებიც დაკავშირებულია განმარტების სფეროსთან, რომლის იგნორირება საგრძნობლად ართულებს დამწყები სტუდენტების ცხოვრებას.
log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x)
ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა. არაფრის გარდაქმნა არ არის საჭირო - ფუძეებიც კი იგივეა. ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ ვაიგივებთ არგუმენტებს:
x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x
x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0
x 2 − 4x − 5 = 0
ჩვენ გვაქვს ქვემოთ მოცემული კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც მარტივად შეიძლება ვიეტას ფორმულების გამოყენებით:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
მაგრამ ეს ფესვები არ არის საბოლოო პასუხები. აუცილებელია ვიპოვოთ განსაზღვრების დომენი, ვინაიდან თავდაპირველი განტოლება შეიცავს ორ ლოგარითმს, ე.ი. დეფინიციის სფეროს გათვალისწინება მკაცრად აუცილებელია.
ასე რომ, მოდით ჩამოვწეროთ განმარტების დომენი. ერთის მხრივ, პირველი ლოგარითმის არგუმენტი უნდა იყოს ნულზე მეტი:
x 2 − 6x + 2 > 0
მეორე მხრივ, მეორე არგუმენტი ასევე უნდა იყოს ნულზე მეტი:
7 − 2x > 0
ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. და სწორედ აქ იწყება გართობა. რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ თითოეული ეს უტოლობა, შემდეგ გადავკვეთოთ ისინი და ვიპოვოთ მთელი განტოლების დომენი. მაგრამ რატომ ართულებთ საკუთარ თავს ცხოვრებას?
შევამჩნიოთ ერთი დახვეწილობა. ჟურნალის ნიშნების აღმოფხვრით, ჩვენ ვაიგივებთ არგუმენტებს. აქედან გამომდინარეობს, რომ მოთხოვნები x 2 − 6x + 2 > 0 და 7 − 2x > 0 ექვივალენტურია. შედეგად, ორი უტოლობიდან რომელიმე შეიძლება აღმოიფხვრას. მოდით გადავკვეთოთ ყველაზე რთული ნაწილი და დავტოვოთ ჩვეულებრივი წრფივი უტოლობა:
−2x > −7
x< 3,5
ვინაიდან ორივე მხარე გავყავით უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის ნიშანი შეიცვალა.
ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ODZ ყოველგვარი კვადრატული უტოლობების, დისკრიმინანტებისა და გადაკვეთების გარეშე. ახლა რჩება მხოლოდ ფესვების შერჩევა, რომლებიც დევს ამ ინტერვალზე. ცხადია, მხოლოდ x = −1 მოგვწონს, რადგან x = 5 > 3.5.
ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პასუხი: x = 1 არის ორიგინალური ლოგარითმული განტოლების ერთადერთი გამოსავალი.
ამ ლოგარითმული განტოლებიდან მიღებული დასკვნები შემდეგია:
- ნუ შეგეშინდებათ ლოგარითმების გაანგარიშება და შემდეგ ფაქტორების გაანგარიშება ლოგარითმების ჯამის მიხედვით. თუმცა, გახსოვდეთ, რომ პროდუქტის ორი ლოგარითმის ჯამად დაყოფით, თქვენ ამით ავიწროებთ განმარტების ფარგლებს. ამიტომ, სანამ განახორციელებთ ასეთ კონვერტაციას, დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ რა მოთხოვნები აქვს საზღვრებს. ყველაზე ხშირად, პრობლემები არ წარმოიქმნება, მაგრამ უსაფრთხო მხარეზე ყოფნა არ ავნებს.
- კანონიკური ფორმისგან თავის დაღწევისას შეეცადეთ გამოთვლების ოპტიმიზაცია მოახდინოთ. კერძოდ, თუ ჩვენ გვჭირდება f > 0 და g > 0, მაგრამ თავად განტოლებაში f = g, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გადავკვეთოთ ერთ-ერთი უტოლობა და დავტოვოთ მხოლოდ უმარტივესი. განმარტებისა და პასუხების დომენი არანაირად არ იმოქმედებს, მაგრამ გამოთვლების რაოდენობა მნიშვნელოვნად შემცირდება.
ეს არის ის, რისი თქმაც მინდოდა ჯგუფის შესახებ.
ტიპიური შეცდომები ამოხსნისას
დღეს ჩვენ გადავხედავთ ორ ტიპურ ლოგარითმულ განტოლებას, რომელსაც ბევრი სტუდენტი აბრკოლებს. ამ განტოლებების მაგალითის გამოყენებით დავინახავთ, რა შეცდომებს უშვებენ ყველაზე ხშირად თავდაპირველი გამონათქვამების ამოხსნისა და გარდაქმნის პროცესში.
წილადი რაციონალური განტოლებები ლოგარითმებით
დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ ეს არის საკმაოდ მზაკვრული ტიპის განტოლებები, რომელშიც ყოველთვის არ არის წილადი ლოგარითმით სადღაც მნიშვნელში. თუმცა, ტრანსფორმაციის პროცესში ასეთი ფრაქცია აუცილებლად წარმოიქმნება.
ამავდროულად, ფრთხილად იყავით: ტრანსფორმაციის პროცესის დროს ლოგარითმების განსაზღვრის საწყისი დომენი შეიძლება მნიშვნელოვნად შეიცვალოს!
ჩვენ გადავდივართ კიდევ უფრო მკაცრ ლოგარითმულ განტოლებაზე, რომელიც შეიცავს წილადებსა და ცვლადი ფუძეებს. იმისთვის, რომ ერთ მოკლე გაკვეთილზე მეტის გაკეთება, ელემენტარულ თეორიას არ გეტყვით. მოდით პირდაპირ დავალებებზე გადავიდეთ:
4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1
ამ განტოლების შემხედვარე ვინმე იკითხავს: „რა კავშირი აქვს ამას წილადის რაციონალურ განტოლებასთან? სად არის წილადი ამ განტოლებაში? მოდით, დრო გამოვყოთ და ყურადღებით დავაკვირდეთ თითოეულ ტერმინს.
პირველი წევრი: 4 log 25 (x − 1). ლოგარითმის საფუძველი არის რიცხვი, მაგრამ არგუმენტი არის x ცვლადის ფუნქცია. ამაზე ჯერ ვერაფერს ვიზამთ. მოდით გადავიდეთ.
შემდეგი ტერმინი არის: log 3 27. გავიხსენოთ, რომ 27 = 3 3. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია გადავწეროთ მთელი ლოგარითმი შემდეგნაირად:
ჟურნალი 3 27 = 3 3 = 3
ასე რომ, მეორე ტერმინი არის მხოლოდ სამი. მესამე წევრი: 2 log x − 1 5. არც აქ არის ყველაფერი მარტივი: ფუძე ფუნქციაა, არგუმენტი ჩვეულებრივი რიცხვია. მე ვთავაზობ მთელი ლოგარითმის შებრუნებას შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:
log a b = 1/log b a
ასეთი ტრანსფორმაცია შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ b ≠ 1. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ლოგარითმი, რომელიც გამოჩნდება მეორე წილადის მნიშვნელში, უბრალოდ არ იარსებებს. ჩვენს შემთხვევაში b = 5, ასე რომ ყველაფერი წესრიგშია:
2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)
მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური განტოლება მიღებული გარდაქმნების გათვალისწინებით:
4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1
წილადის მნიშვნელში გვაქვს log 5 (x − 1), ხოლო პირველ წევრში გვაქვს log 25 (x − 1). მაგრამ 25 = 5 2, ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ კვადრატს ლოგარითმის ფუძიდან წესის მიხედვით:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიმძლავრე ლოგარითმის ბაზაზე ხდება წილადი წინა მხარეს. და გამოთქმა გადაიწერება ასე:
4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0
ჩვენ დავასრულეთ გრძელი განტოლება იდენტური ლოგარითმების წყობით. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:
ჟურნალი 5 (x − 1) = t;
2t − 4 + 2/t = 0;
მაგრამ ეს არის წილად-რაციონალური განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია მე-8-მე-9 კლასის ალგებრის გამოყენებით. ჯერ ყველაფერი ორზე გავყოთ:
t − 2 + 1/t = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0
ფრჩხილებში არის ზუსტი კვადრატი. მოდი დავშალოთ:
(t − 1) 2 /t = 0
წილადი ნულის ტოლია, როცა მისი მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის. არასოდეს დაივიწყოთ ეს ფაქტი:
(t − 1) 2 = 0
t = 1
t ≠ 0
გავიხსენოთ რა არის:
ჟურნალი 5 (x − 1) = 1
log 5 (x − 1) = log 5 5
ჩვენ ვაშორებთ ჟურნალის ნიშნებს, ვაიგივებთ მათ არგუმენტებს და ვიღებთ:
x − 1 = 5 ⇒ x = 6
ყველა. პრობლემა მოგვარებულია. მაგრამ მოდით დავუბრუნდეთ თავდაპირველ განტოლებას და გავიხსენოთ, რომ არსებობდა ორი ლოგარითმი x ცვლადით. ამიტომ, აუცილებელია ჩამოვწეროთ განმარტების დომენი. ვინაიდან x − 1 არის ლოგარითმის არგუმენტში, ეს გამოხატულება უნდა იყოს ნულზე მეტი:
x − 1 > 0
მეორეს მხრივ, იგივე x − 1 ასევე იმყოფება ფუძეში, ამიტომ ის უნდა განსხვავდებოდეს ერთიანისგან:
x − 1 ≠ 1
აქედან ვასკვნით:
x > 1; x ≠ 2
ეს მოთხოვნები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს. მნიშვნელობა x = 6 აკმაყოფილებს ორივე მოთხოვნას, ამიტომ x = 6 არის ლოგარითმული განტოლების საბოლოო ამოხსნა.
გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:
მოდით კიდევ ერთხელ გამოვყოთ დრო და გადავხედოთ თითოეულ ტერმინს:
ჟურნალი 4 (x + 1) - ბაზა არის ოთხი. ეს ნორმალური ნომერია და არ გჭირდებათ მასზე შეხება. მაგრამ ბოლო დროს ჩვენ შევხვდით ზუსტ კვადრატს ძირში, რომელიც უნდა ამოეღო ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. ახლაც იგივე გავაკეთოთ:
ჟურნალი 4 (x + 1) = 1/2 ჟურნალი 2 (x + 1)
ხრიკი იმაშია, რომ ჩვენ უკვე გვაქვს ლოგარითმი x ცვლადით, თუმცა ბაზაში - ეს არის ლოგარითმის ინვერსია, რომელიც ახლახან ვიპოვეთ:
8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)
შემდეგი წევრია log 2 8. ეს არის მუდმივი, რადგან არგუმენტიც და ბაზაც ჩვეულებრივი რიცხვებია. მოდი ვიპოვოთ ღირებულება:
ჟურნალი 2 8 = ჟურნალი 2 2 3 = 3
იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ ბოლო ლოგარითმით:
ახლა გადავიწეროთ თავდაპირველი განტოლება:
1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0
მოდით, ყველაფერი საერთო მნიშვნელამდე მივიყვანოთ:
ისევ გვაქვს წილადი რაციონალური განტოლება. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი:
t = ჟურნალი 2 (x + 1)
მოდით გადავწეროთ განტოლება ახალი ცვლადის გათვალისწინებით:
ფრთხილად იყავით: ამ ეტაპზე მე შევცვალე პირობები. წილადის მრიცხველი შეიცავს სხვაობის კვადრატს:
როგორც ადრე, წილადი ნულის ტოლია, როცა მისი მრიცხველი არის ნული, ხოლო მნიშვნელი არ არის ნული:
(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
ჩვენ მივიღეთ ერთი ფესვი, რომელიც აკმაყოფილებს ყველა მოთხოვნას, ამიტომ ვუბრუნდებით x ცვლადს:
ჟურნალი 2 (x + 1) = 4;
ჟურნალი 2 (x + 1) = ჟურნალი 2 2 4;
x + 1 = 16;
x = 15
ესე იგი, ჩვენ გადავწყვიტეთ განტოლება. მაგრამ რადგან თავდაპირველ განტოლებაში რამდენიმე ლოგარითმი იყო, აუცილებელია ჩამოვწეროთ განმარტების დომენი.
ასე რომ, გამოხატულება x + 1 არის ლოგარითმის არგუმენტში. ამიტომ x + 1 > 0. მეორე მხრივ, x + 1 ასევე იმყოფება ფუძეში, ე.ი. x + 1 ≠ 1. სულ:
0 ≠ x > −1
აკმაყოფილებს თუ არა ნაპოვნი ფესვი ამ მოთხოვნებს? უეჭველად. მაშასადამე, x = 15 არის საწყისი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი.
და ბოლოს, მინდა ვთქვა შემდეგი: თუ დააკვირდებით განტოლებას და გესმით, რომ თქვენ უნდა ამოხსნათ რაღაც რთული და არასტანდარტული, შეეცადეთ ამოიცნოთ სტაბილური სტრუქტურები, რომლებიც მოგვიანებით სხვა ცვლადით იქნება დანიშნული. თუ ზოგიერთი ტერმინი საერთოდ არ შეიცავს x ცვლადს, ხშირად მათი უბრალოდ გამოთვლა შეიძლება.
სულ ამაზე მინდოდა მესაუბრა დღეს. ვიმედოვნებ, რომ ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ რთული ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნაში. უყურეთ სხვა ვიდეო გაკვეთილებს, ჩამოტვირთეთ და გადაჭრით დამოუკიდებელი მუშაობა, და გნახავთ შემდეგ ვიდეოში!
მათემატიკა მეცნიერებაზე მეტია, ეს არის მეცნიერების ენა.
დანიელი ფიზიკოსი საზოგადო მოღვაწენილს ბორი
ლოგარითმული განტოლებები
ტიპურ ამოცანებს შორის, შესთავაზა შესასვლელ (საკონკურსო) ტესტებზე, არის ამოცანები, დაკავშირებული ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნასთან. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გქონდეთ კარგი ცოდნა ლოგარითმების თვისებების შესახებ და გქონდეთ მათი გამოყენების უნარები.
ეს სტატია პირველად წარმოგიდგენთ ლოგარითმების ძირითად ცნებებსა და თვისებებს., შემდეგ კი განიხილება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები.
ძირითადი ცნებები და თვისებები
პირველ რიგში, ჩვენ წარმოგიდგენთ ლოგარითმების ძირითად თვისებებს, რომელთა გამოყენება საშუალებას იძლევა წარმატებით გადაჭრას შედარებით რთული ლოგარითმული განტოლებები.
მთავარი ლოგარითმული იდენტურობა იწერება როგორც
, (1)
ლოგარითმების ყველაზე ცნობილ თვისებებს შორისაა შემდეგი ტოლობები:
1. თუ , , და , მაშინ , ,
2. თუ , , , და , მაშინ .
3. თუ , , და , მაშინ .
4. თუ , , და ბუნებრივი რიცხვი, ეს
5. თუ , , და ბუნებრივი რიცხვი, ეს
6. თუ , , და , მაშინ .
7. თუ , , და , მაშინ .
ლოგარითმების უფრო რთული თვისებები ჩამოყალიბებულია შემდეგი განცხადებებით:
8. თუ , , , და , მაშინ
9. თუ , , და , მაშინ
10. თუ , , , და , მაშინ
ლოგარითმების ბოლო ორი თვისების დადასტურება მოცემულია ავტორის სახელმძღვანელოში "მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სკოლის მათემატიკის დამატებითი სექციები" (M.: Lenand / URSS, 2014).
ასევე აღსანიშნავიარა არის ფუნქცია იზრდება, თუ , და მცირდება , თუ .
მოდით შევხედოთ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ამოცანების მაგალითებს, მოწყობილი სირთულის გაზრდის მიზნით.
პრობლემის გადაჭრის მაგალითები
მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება
. (2)
გამოსავალი.განტოლებიდან (2) გვაქვს . გადავცვალოთ განტოლება შემდეგნაირად: , ან .
რადგან, მაშინ (2) განტოლების ფესვი არის.
პასუხი:.
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება
გამოსავალი. განტოლება (3) არის განტოლებების ექვივალენტური
ან .
აქედან ვიღებთ.
პასუხი:.
მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება
გამოსავალი. (4) განტოლებიდან გამომდინარეობსრა . ძირითადი ლოგარითმული იდენტობის გამოყენება (1), შეგვიძლია დავწეროთ
ან .
თუ დააყენებთ შემდეგ აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც ორი ფესვი აქვსდა . თუმცა, ამიტომ და განტოლების შესაფერისი ფესვიარის მხოლოდ. მას შემდეგ ან .
პასუხი:.
მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლება
გამოსავალი.ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონიგანტოლებაში (5) არის.
დაე იყოს . ფუნქციიდან გამომდინარეგანსაზღვრების დომენზე მცირდებადა ფუნქცია იზრდება მთელი რიცხვითი ხაზის გასწვრივ, შემდეგ განტოლება არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი.
შერჩევით ჩვენ ვპოულობთ ერთადერთ ფესვს.
პასუხი:.
მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება.
გამოსავალი.თუ განტოლების ორივე მხარე ლოგარითმულად მიიღება 10-მდე, მაშინ
ან .
კვადრატული განტოლების ამოხსნით ვიღებთ და . აქედან გამომდინარე, აქ გვაქვს და .
პასუხი: ,.
მაგალითი 6. ამოხსენით განტოლება
. (6)
გამოსავალი.მოდით გამოვიყენოთ იდენტურობა (1) და გადავიტანოთ განტოლება (6) შემდეგნაირად:
ან .
პასუხი: ,.
მაგალითი 7. ამოხსენით განტოლება
. (7)
გამოსავალი.ქონების 9-ის გათვალისწინებით გვაქვს . ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (7) იღებს ფორმას
აქედან ვიღებთ ან .
პასუხი:.
მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლება
. (8)
გამოსავალი.გამოვიყენოთ თვისება 9 და გადავწეროთ განტოლება (8) ეკვივალენტური ფორმით.
თუ ჩვენ მაშინ დავნიშნავთ, მაშინ მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას, სად . განტოლებიდან გამომდინარეაქვს მხოლოდ ერთი დადებითი ფესვი, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს.
პასუხი:.
მაგალითი 9. ამოხსენით განტოლება
. (9)
გამოსავალი. ვინაიდან (9) განტოლებიდან გამომდინარეობსმაშინ აქ. ქონების მიხედვით 10, შეიძლება ჩაიწეროს.
ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (9) იქნება განტოლებების ექვივალენტი
ან .
აქედან ვიღებთ (9) განტოლების ფესვს.
მაგალითი 10. ამოხსენით განტოლება
. (10)
გამოსავალი.ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი (10) განტოლებაში არის . ქონების 4-ის მიხედვით აქ გვაქვს
. (11)
ვინაიდან , მაშინ განტოლება (11) იღებს ფორმას კვადრატული განტოლება, სად . კვადრატული განტოლების ფესვებია და.
მას შემდეგ და . აქედან ვიღებთ და .
პასუხი: ,.
მაგალითი 11. ამოხსენით განტოლება
. (12)
გამოსავალი.მოდით აღვნიშნოთ მაშინ და განტოლება (12) იღებს ფორმას
ან
. (13)
ადვილი მისახვედრია, რომ განტოლების (13) ფესვი არის . მოდით ვაჩვენოთ, რომ ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს. ამისათვის გაყავით ორივე მხარე და მიიღეთ ეკვივალენტური განტოლება
. (14)
ვინაიდან ფუნქცია მცირდება და ფუნქცია იზრდება მთელ რიცხვით ღერძზე, მაშინ განტოლებას (14) არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ფესვი. ვინაიდან (13) და (14) განტოლებები ეკვივალენტურია, განტოლებას (13) აქვს ერთი ფესვი.
მას შემდეგ და .
პასუხი:.
მაგალითი 12. ამოხსენით განტოლება
. (15)
გამოსავალი.აღვნიშნოთ და . ვინაიდან ფუნქცია მცირდება განსაზღვრების დომენზე და ფუნქცია იზრდება ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს იგივე ფესვი. პირდაპირი შერჩევით ვადგენთ, რომ (15) განტოლების სასურველი ფესვი არის .
პასუხი:.
მაგალითი 13. ამოხსენით განტოლება
. (16)
გამოსავალი.ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით ვიღებთ
მას შემდეგ და გვაქვს უთანასწორობა
შედეგად მიღებული უტოლობა ემთხვევა განტოლებას (16) მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ან .
ღირებულების ჩანაცვლებითგანტოლებაში (16) ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ, რა არის მისი ფესვი.
პასუხი:.
მაგალითი 14. ამოხსენით განტოლება
. (17)
გამოსავალი.ვინაიდან აქ, მაშინ განტოლება (17) იღებს ფორმას.
თუ დავსვამთ, მაშინ მივიღებთ განტოლებას
, (18)
სად . (18) განტოლებიდან გამოდის: ან . ვინაიდან, განტოლებას აქვს ერთი შესაფერისი ფესვი. თუმცა, სწორედ ამიტომ.
მაგალითი 15. ამოხსენით განტოლება
. (19)
გამოსავალი.ავღნიშნოთ, შემდეგ განტოლება (19) იღებს ფორმას. თუ ამ განტოლებას ავიღებთ მე-3 საფუძველს, მივიღებთ
ან
აქედან გამომდინარეობს, რომ და. მას შემდეგ და . ამ მხრივ და.
პასუხი: ,.
მაგალითი 16. ამოხსენით განტოლება
. (20)
გამოსავალი. შევიყვანოთ პარამეტრიდა გადაწერეთ განტოლება (20) პარამეტრის მიმართ კვადრატული განტოლების სახით, ე.ი.
. (21)
(21) განტოლების ფესვებია
ან , . ვინაიდან , გვაქვს განტოლებები და . აქედან ვიღებთ და .
პასუხი: ,.
მაგალითი 17. ამოხსენით განტოლება
. (22)
გამოსავალი.(22) განტოლებაში ცვლადის განსაზღვრის დომენის დასადგენად აუცილებელია განიხილოს სამი უტოლობა: , და .
ქონების გამოყენება 2, განტოლებიდან (22) ვიღებთ
ან
. (23)
თუ (23) განტოლებაში ჩავსვამთ, მაშინ მივიღებთ განტოლებას
. (24)
განტოლება (24) გადაიჭრება შემდეგნაირად:
ან
აქედან გამომდინარეობს და , ე.ი. განტოლებას (24) აქვს ორი ფესვი: და .
მას შემდეგ , ან , .
პასუხი: ,.
მაგალითი 18. ამოხსენით განტოლება
. (25)
გამოსავალი.ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებას (25) შემდეგნაირად:
, , .
აქედან ვიღებთ.
მაგალითი 19. ამოხსენით განტოლება
. (26)
გამოსავალი.მას შემდეგ.
შემდეგი, გვაქვს. აქედან გამომდინარე, თანასწორობა (26) დაკმაყოფილებულია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ, როდესაც განტოლების ორივე მხარე ერთდროულად 2-ის ტოლია.
ამრიგად, განტოლება (26) განტოლებათა სისტემის ტოლფასია
სისტემის მეორე განტოლებიდან ვიღებთ
ან .
ადვილი სანახავიარა აზრი აქვს ასევე აკმაყოფილებს სისტემის პირველ განტოლებას.
პასუხი:.
ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის შეგიძლიათ მიმართოთ სახელმძღვანელოებს რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.
1. კუშნირი ა.ი. სასკოლო მათემატიკის შედევრები (პრობლემები და ამონახსნები ორ წიგნში). - კიევი: ასტარტა, წიგნი 1, 1995. – 576გვ.
2. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – მ.: მშვიდობა და განათლება, 2013. – 608გვ.
3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: დამატებითი სექციები სკოლის სასწავლო გეგმა. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216გვ.
4. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: გაზრდილი სირთულის ამოცანები. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200გვ.
5. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: ამოცანების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296გვ.
ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.
ლოგარითმული განტოლებაარის განტოლება, რომელშიც უცნობი (x) და მასთან ერთად გამოსახულებები ლოგარითმული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ არიან. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა ვარაუდობს, რომ თქვენ უკვე იცნობთ და .
როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები?
უმარტივესი განტოლებაა შესვლა a x = b, სადაც a და b ზოგიერთი რიცხვია, x უცნობია.
ლოგარითმული განტოლების ამოხსნაარის x = a b მოწოდებული: a > 0, a 1.
უნდა აღინიშნოს, რომ თუ x არის სადმე ლოგარითმის მიღმა, მაგალითად log 2 x = x-2, მაშინ ასეთ განტოლებას უკვე უწოდებენ შერეულს და მის ამოსახსნელად საჭიროა სპეციალური მიდგომა.
იდეალური შემთხვევაა, როდესაც წააწყდებით განტოლებას, რომელშიც მხოლოდ რიცხვებია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მაგალითად x+2 = log 2 2. აქ საკმარისია იცოდეთ ლოგარითმების თვისებები მის ამოსახსნელად. მაგრამ ასეთი იღბალი ხშირად არ ხდება, ამიტომ მოემზადეთ უფრო რთული საქმეებისთვის.
მაგრამ ჯერ დავიწყოთ მარტივი განტოლებებით. მათი გადასაჭრელად მიზანშეწონილია გქონდეთ ლოგარითმის ძალიან ზოგადი გაგება.
მარტივი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა
ეს მოიცავს log 2 x = log 2 ტიპის განტოლებებს 16. შეუიარაღებელი თვალით ჩანს, რომ ლოგარითმის ნიშნის გამოტოვებით ვიღებთ x = 16-ს.
უფრო რთული ლოგარითმული განტოლების ამოსახსნელად, ის ჩვეულებრივ მცირდება ჩვეულებრივი ალგებრული განტოლების ამოხსნით ან მარტივი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნით log a x = b. უმარტივეს განტოლებებში ეს ხდება ერთ მოძრაობაში, რის გამოც მათ უმარტივესს უწოდებენ.
ლოგარითმების ჩამოშვების ზემოხსენებული მეთოდი ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი ხერხია. მათემატიკაში ამ ოპერაციას პოტენციაცია ეწოდება. ამ ტიპის ოპერაციისთვის არსებობს გარკვეული წესები ან შეზღუდვები:
- ლოგარითმებს აქვთ იგივე რიცხვითი საფუძვლები
- განტოლების ორივე მხარეს ლოგარითმები თავისუფალია, ე.ი. ყოველგვარი კოეფიციენტების ან სხვა სხვადასხვა სახის გამონათქვამების გარეშე.
ვთქვათ განტოლებაში log 2 x = 2log 2 (1 - x) გაძლიერება არ გამოიყენება - კოეფიციენტი 2 მარჯვნივ არ იძლევა ამის საშუალებას. შემდეგ მაგალითში log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) ასევე არ აკმაყოფილებს ერთ-ერთ შეზღუდვას - მარცხნივ არის ორი ლოგარითმი. ერთი რომ ყოფილიყო, სულ სხვა საქმე იქნებოდა!
ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ წაშალოთ ლოგარითმები მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლებას აქვს ფორმა:
log a (...) = log a (...)
აბსოლუტურად ნებისმიერი გამონათქვამი შეიძლება განთავსდეს ფრჩხილებში, ეს აბსოლუტურად არ მოქმედებს გაძლიერების ოპერაციაზე. ლოგარითმების აღმოფხვრის შემდეგ კი უფრო მარტივი განტოლება დარჩება - წრფივი, კვადრატული, ექსპონენციალური და ა.შ., რომლის ამოხსნაც, იმედია, უკვე იცით.
ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:
ჟურნალი 3 (2x-5) = ჟურნალი 3 x
ჩვენ ვიყენებთ გაძლიერებას, ვიღებთ:
ჟურნალი 3 (2x-1) = 2
ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარე, კერძოდ, რომ ლოგარითმი არის რიცხვი, რომელზეც ფუძე უნდა გაიზარდოს, რათა მივიღოთ გამოხატულება, რომელიც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშაა, ე.ი. (4x-1), ვიღებთ:
ისევ ლამაზი პასუხი მივიღეთ. აქ ჩვენ გავაკეთეთ ლოგარითმების აღმოფხვრის გარეშე, მაგრამ პოტენციაცია აქაც გამოიყენება, რადგან ლოგარითმი შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერი რიცხვიდან და ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ეს მეთოდი ძალიან სასარგებლოა ლოგარითმული განტოლებების და განსაკუთრებით უტოლობების ამოხსნაში.
მოდით გადავჭრათ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება log 3 (2x-1) = 2 პოტენციაციის გამოყენებით:
წარმოვიდგინოთ რიცხვი 2, როგორც ლოგარითმი, მაგალითად, ეს ჟურნალი 3 9, რადგან 3 2 =9.
შემდეგ log 3 (2x-1) = log 3 9 და ისევ მივიღებთ იგივე განტოლებას 2x-1 = 9. იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია.
ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები, რომლებიც რეალურად ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, თუნდაც ყველაზე საშინელი და დაგრეხილი, ბოლოს ყოველთვის უმარტივესი განტოლებების ამოხსნაზე მოდის.
ყველაფერში, რაც ზემოთ გავაკეთეთ, მხედველობიდან დავკარგეთ ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი, რომელიც გადამწყვეტ როლს ითამაშებს მომავალში. ფაქტია, რომ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლების ამონახსნი, თუნდაც ყველაზე ელემენტარული, შედგება ორი თანაბარი ნაწილისგან. პირველი არის თავად განტოლების გადაწყვეტა, მეორე მუშაობს დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონთან (APV). ეს არის ზუსტად პირველი ნაწილი, რომელიც ჩვენ ავითვისეთ. ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში ODZ არანაირად არ მოქმედებს პასუხზე, ამიტომ ჩვენ არ განვიხილავთ მას.
ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:
ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)
გარეგნულად, ეს განტოლება არაფრით განსხვავდება ელემენტარულისგან, რომლის ამოხსნაც ძალიან წარმატებით შეიძლება. მაგრამ ეს არ არის მთლიანად სიმართლე. არა, რა თქმა უნდა მოვაგვარებთ, მაგრამ დიდი ალბათობით არასწორად, რადგან ის შეიცავს პატარა ჩასაფრებას, რომელშიც მაშინვე ხვდებიან C კლასის მოსწავლეებიც და წარჩინებულიც. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ.
ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ განტოლების ფესვი ან ფესვების ჯამი, თუ რამდენიმე მათგანია:
ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)
ჩვენ ვიყენებთ გაძლიერებას, აქ მისაღებია. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ჩვეულებრივ კვადრატულ განტოლებას.
განტოლების ფესვების პოვნა:
ორი ფესვი აღმოჩნდა.
პასუხი: 3 და -1
ერთი შეხედვით ყველაფერი სწორია. მაგრამ მოდით შევამოწმოთ შედეგი და ჩავანაცვლოთ იგი თავდაპირველ განტოლებაში.
დავიწყოთ x 1 = 3-ით:
ჟურნალი 3 6 = ჟურნალი 3 6
შემოწმება წარმატებით დასრულდა, ახლა რიგი არის x 2 = -1:
ჟურნალი 3 (-2) = ჟურნალი 3 (-2)
კარგი, გაჩერდი! გარეგნულად ყველაფერი იდეალურია. ერთი რამ - არ არსებობს ლოგარითმები უარყოფითი რიცხვებიდან! ეს ნიშნავს, რომ ფესვი x = -1 არ არის შესაფერისი ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად. და ამიტომ სწორი პასუხი იქნება 3 და არა 2, როგორც დავწერეთ.
სწორედ აქ ითამაშა ODZ-მა თავისი საბედისწერო როლი, რომელიც ჩვენ დავიწყებული გვქონდა.
შეგახსენებთ, რომ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი მოიცავს x-ის იმ მნიშვნელობებს, რომლებიც დაშვებულია ან აზრი აქვს ორიგინალური მაგალითისთვის.
ODZ-ის გარეშე, ნებისმიერი განტოლების ნებისმიერი გამოსავალი, თუნდაც აბსოლუტურად სწორი, გადაიქცევა ლატარიაში - 50/50.
როგორ დავიჭირეთ ერთი შეხედვით ელემენტარული მაგალითის ამოხსნისას? მაგრამ ზუსტად გაძლიერების მომენტში. გაქრა ლოგარითმები და მათთან ერთად ყველა შეზღუდვა.
რა უნდა გააკეთოს ამ შემთხვევაში? უარს ამბობ ლოგარითმების აღმოფხვრაზე? და სრულიად უარს ამბობ ამ განტოლების ამოხსნაზე?
არა, ჩვენ უბრალოდ, როგორც ნამდვილი გმირები ერთი ცნობილი სიმღერიდან, შემოვლით ვივლით!
სანამ რაიმე ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას დავიწყებთ, ჩვენ დავწერთ ODZ-ს. მაგრამ ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ის, რაც თქვენს გულს სურს ჩვენი განტოლებით. პასუხის მიღების შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ ვყრით იმ ფესვებს, რომლებიც არ შედის ჩვენს ODZ-ში და ვწერთ საბოლოო ვერსიას.
ახლა მოდით გადავწყვიტოთ როგორ ჩავწეროთ ODZ. ამისათვის ჩვენ ყურადღებით განვიხილავთ თავდაპირველ განტოლებას და ვეძებთ მასში საეჭვო ადგილებს, როგორიცაა გაყოფა x-ზე, ლუწი ფესვზე და ა.შ. სანამ განტოლებას არ ამოხსნით, ჩვენ არ ვიცით რისი ტოლია x, მაგრამ ზუსტად ვიცით, რომ ის x, რომელიც ჩანაცვლებისას იძლევა გაყოფას 0-ზე ან უარყოფითი რიცხვის კვადრატულ ფესვზე, აშკარად არ არის შესაფერისი პასუხად. . ამიტომ, ასეთი x მიუღებელია, დანარჩენი კი წარმოადგენს ODZ-ს.
ისევ გამოვიყენოთ იგივე განტოლება:
ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)
ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)
როგორც ხედავთ, არ არის გაყოფა 0-ზე, ასევე არ არის კვადრატული ფესვები, მაგრამ არის გამონათქვამები x-ით ლოგარითმის სხეულში. დაუყოვნებლივ გვახსოვდეს, რომ ლოგარითმის შიგნით გამოხატულება ყოველთვის უნდა იყოს >0. ჩვენ ვწერთ ამ მდგომარეობას ODZ-ის სახით:
იმათ. ჩვენ ჯერ არაფერი მოვაგვარეთ, მაგრამ უკვე ჩავწერეთ სავალდებულო პირობა მთელი სუბლოგირითმული გამოსახულებისთვის. ხვეული სამაგრი ნიშნავს, რომ ეს პირობები ერთდროულად უნდა იყოს ჭეშმარიტი.
ODZ ჩაწერილია, მაგრამ ასევე აუცილებელია მიღებული უტოლობების სისტემის ამოხსნა, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ. ვიღებთ პასუხს x > v3. ახლა ჩვენ ზუსტად ვიცით, რომელი x არ მოგვწონს. და შემდეგ ჩვენ ვიწყებთ თავად ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას, რაც ზემოთ გავაკეთეთ.
მას შემდეგ რაც მივიღეთ პასუხები x 1 = 3 და x 2 = -1, ადვილი მისახვედრია, რომ მხოლოდ x1 = 3 ჯდება და ჩვენ მას ვწერთ როგორც საბოლოო პასუხს.
სამომავლოდ ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს შემდეგი: ნებისმიერ ლოგარითმულ განტოლებას ვხსნით 2 ეტაპად. პირველი არის თავად განტოლების ამოხსნა, მეორე არის ODZ პირობის ამოხსნა. ორივე საფეხური შესრულებულია ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და შედარება ხდება მხოლოდ პასუხის წერისას, ე.ი. გადაყარეთ ყველაფერი არასაჭირო და ჩაწერეთ სწორი პასუხი.
მასალის გასაძლიერებლად, ჩვენ გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს:
ვიდეოში ნაჩვენებია ჟურნალის ამოხსნის სხვა მაგალითები. განტოლებები და ინტერვალის მეთოდის პრაქტიკაში შემუშავება.
ამ კითხვაზე, როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებებიჯერჯერობით სულ ესაა. თუ რამეს ლოგინი წყვეტს. განტოლებები რჩება გაუგებარი ან გაუგებარი, დაწერეთ თქვენი შეკითხვები კომენტარებში.
შენიშვნა: სოციალური განათლების აკადემია (ASE) მზად არის მიიღოს ახალი სტუდენტები.