Много ученици се „забиват“ в уравнения от този вид. В същото време самите задачи в никакъв случай не са трудни - достатъчно е просто да извършите компетентна промяна на променлива, за която трябва да се научите как да избирате стабилни изрази.
В допълнение към този урок ще имате доста обемна самостоятелна работа, състояща се от два варианта с по 6 проблема.
Метод на групиране
Днес ще анализираме две логаритмични уравнения, едното от които не може да бъде решено „направо“ и изисква специални трансформации, а второто ... обаче няма да разказвам наведнъж. Гледайте видео, изтеглете самостоятелна творба - и се научете да решавате сложни проблеми.
Така че, групиране и поставяне в скоби на общи фактори. В допълнение ще ви кажа какви клопки носи домейнът на дефиницията на логаритмите и как малките забележки в областта на дефинициите могат значително да променят както корените, така и цялото решение.
Нека започнем с групирането. Трябва да решим следното логаритмично уравнение:
log 2 x log 2 (x - 3) + 1 \u003d log 2 (x 2 - 3x)
На първо място, имайте предвид, че x 2 - 3x могат да бъдат факторизирани:
log 2 x (x - 3)
Тогава си спомняме прекрасната формула:
log a fg \u003d log a f + log a g
Само бърза бележка: тази формула работи чудесно, когато a, f и g са редовни числа. Но когато вместо тях има функции, тези изрази престават да бъдат равни. Представете си тази хипотетична ситуация:
е< 0; g < 0
В този случай продуктът fg ще бъде положителен, следователно log a (fg) ще съществува, но log a f и log a g няма да съществуват отделно и няма да можем да извършим такава трансформация.
Пренебрегването на този факт ще доведе до стесняване на зоната на дефиниция и като следствие до загуба на корени. Следователно, преди да извършите такава трансформация, е задължително предварително да се уверите, че функциите f и g са положителни.
В нашия случай всичко е просто. Тъй като първоначалното уравнение има дневник на функциите 2 x, тогава x\u003e 0 (в края на краищата променливата x е в аргумента). Има и log 2 (x - 3), така че x - 3\u003e 0.
Следователно във функционен дневник 2 x (x - 3) всеки коефициент ще бъде по-голям от нула. Следователно можете спокойно да разпределите работата в размер:
log 2 x log 2 (x - 3) + 1 \u003d log 2 x + log 2 (x - 3)
log 2 x log 2 (x - 3) + 1 - log 2 x - log 2 (x - 3) \u003d 0
На пръв поглед може да изглежда, че не е станало по-лесно. Напротив: броят на термините само се е увеличил! За да разберем как да продължим, нека въведем нови променливи:
log 2 x \u003d a
log 2 (x - 3) \u003d b
a b + 1 - a - b \u003d 0
Сега нека групираме третия член с първия:
(a b - a) + (1 - b) \u003d 0
a (1 b - 1) + (1 - b) \u003d 0
Имайте предвид, че и първата, и втората скоби съдържат b - 1 (във втория случай ще трябва да поставите „минуса“ извън скобите). Нека разделим нашата конструкция:
a (1 b - 1) - (b - 1) \u003d 0
(b - 1) (a 1 - 1) \u003d 0
И сега си спомняме нашето прекрасно правило: продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:
b - 1 \u003d 0 ⇒ b \u003d 1;
a - 1 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1.
Нека си спомним какво са b и a. Получаваме две най-прости логаритмични уравнения, в които остава само да се отървем от дневниците и да изравним аргументите:
log 2 x \u003d 1 ⇒ log 2 x \u003d log 2 2 ⇒ x 1 \u003d 2;
log 2 (x - 3) \u003d 1 ⇒ log 2 (x - 3) \u003d log 2 2 ⇒ x 2 \u003d 5
Получихме два корена, но това не е решение на първоначалното логаритмично уравнение, а само кандидати за отговора. Сега нека проверим обхвата. За първия аргумент:
x\u003e 0
И двата корена отговарят на първото изискване. Преминавайки към втория аргумент:
x - 3\u003e 0 ⇒ x\u003e 3
Но тук вече x \u003d 2 не ни удовлетворява, но x \u003d 5 е напълно подходящ за нас. Следователно единственият отговор е x \u003d 5.
Преминаваме към второто логаритмично уравнение. На пръв поглед е много по-просто. В процеса на решаването му обаче ще разгледаме фините точки, свързани с областта на дефиницията, чието невежество значително усложнява живота на начинаещите ученици.
log 0.7 (x 2 - 6x + 2) \u003d log 0.7 (7 - 2x)
Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение. Не е необходимо нищо да се трансформира - дори основите са еднакви. Така че ние просто приравняваме аргументите:
x 2 - 6x + 2 \u003d 7 - 2x
x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x \u003d 0
x 2 - 4x - 5 \u003d 0
Пред нас е даденото квадратно уравнение, което лесно се решава чрез формулите на Vieta:
(x - 5) (x + 1) \u003d 0;
x - 5 \u003d 0 ⇒ x \u003d 5;
x + 1 \u003d 0 ⇒ x \u003d −1.
Но тези корени все още не са окончателни отговори. Необходимо е да се намери областта на дефиницията, тъй като в оригиналното уравнение има два логаритма, т.е. вземането предвид на областта на дефиницията е строго задължително.
И така, нека изпишем областта на дефиницията. От една страна, аргументът на първия логаритъм трябва да е по-голям от нула:
x 2 - 6x + 2\u003e 0
От друга страна, вторият аргумент също трябва да е по-голям от нула:
7 - 2x\u003e 0
Тези изисквания трябва да бъдат изпълнени едновременно. И тук започва забавлението. Разбира се, можем да разрешим всяко от тези неравенства, след това да ги пресечем и да намерим областта на цялото уравнение. Но защо да правите живота толкова труден за себе си?
Нека отбележим една тънкост. Като елиминираме дневниците, изравняваме аргументите. От това следва, че изискванията x 2 - 6x + 2\u003e 0 и 7 - 2x\u003e 0 са еквивалентни. В резултат на това всяко от двете неравенства може да бъде заличено. Нека зачеркнем най-трудното нещо и да оставим обичайното линейно неравенство за себе си:
−2x\u003e −7
х< 3,5
Тъй като разделяхме двете страни на отрицателно число, знакът за неравенство се промени.
И така, открихме ODV без никакви квадратни неравенства, дискриминанти и пресичания. Сега остава само да се изберат корените, които лежат на този интервал. Очевидно само x \u003d −1 ще ни подхожда, защото x \u003d 5\u003e 3.5.
Можете да напишете отговора: x \u003d 1 е единственото решение на оригиналното логаритмично уравнение.
Заключенията от това логаритмично уравнение са както следва:
- Не се страхувайте да отчитате логаритмите и след това разширявайте факторите до сумата от логаритмите. Имайте предвид обаче, че разбиването на продукта чрез сумата от два логаритма стеснява обхвата. Ето защо, преди да извършите такова преобразуване, не забравяйте да проверите какви са изискванията за обхват. Най-често не възникват проблеми, но за пореден път няма да навреди да играете на сигурно място.
- Когато се отървете от каноничната форма, опитайте се да оптимизирате изчисленията. По-специално, ако от нас се изисква f\u003e 0 и g\u003e 0, но в самото уравнение f \u003d g, тогава можем безопасно да изтрием едно от неравенствата, като оставим само най-простите. Обхватът и отговорите няма да бъдат засегнати по никакъв начин, но обемът на изчисленията ще бъде значително намален.
Това всъщност е всичко, което исках да ви кажа за групирането. :)
Често срещани грешки при решаване
Днес ще разбием две типични логаритмични уравнения, на които се натъкват много ученици. Използвайки тези уравнения като пример, ще видим какви грешки най-често се допускат в процеса на решаване и преобразуване на оригиналните изрази.
Дробни рационални уравнения с логаритми
Веднага трябва да се отбележи, че това е доста коварен тип уравнения, при които дроб с логаритъм някъде в знаменателя не винаги присъства веднага. Въпреки това, в процеса на трансформации, такава част със сигурност ще се появи.
В същото време, бъдете внимателни: в процеса на трансформации, първоначалната област на дефиниция на логаритмите може да се промени значително!
Преминаваме към още по-твърди логаритмични уравнения, съдържащи дроби и променливи бази. За да направя повече в един кратък урок, няма да разказвам елементарната теория. Нека да преминем направо към задачите:
4 log 25 (x - 1) - log 3 27 + 2 log x - 1 5 \u003d 1
След като разгледа това уравнение, някой ще попита: „Какво общо има дробното рационално уравнение? Къде е делът в това уравнение? " Нека да отделим време и да разгледаме отблизо всеки термин.
Първи член: 4 дневника 25 (x - 1). Основата на логаритъма е число, но аргументът е функция на променливата x. Все още не можем да направим нищо по въпроса. Продължавай.
Следващ член: дневник 3 27. Припомнете си, че 27 \u003d 3 3. Следователно можем да пренапишем целия логаритъм, както следва:
log 3 27 \u003d 3 3 \u003d 3
Така че вторият член е просто тройка. Третият член: 2 log x - 1 5. Тук също не всичко е просто: в основата има функция, в аргумента - обикновено число. Предлагам да обърнете целия логаритъм, като използвате следната формула:
log a b \u003d 1 / log b a
Такова преобразуване може да се извърши само ако b ≠ 1. В противен случай логаритъмът, който се получава в знаменателя на втората дроб, просто няма да съществува. В нашия случай b \u003d 5, така че всичко е наред:
2 log x - 1 5 \u003d 2 / log 5 (x - 1)
Нека пренапишем оригиналното уравнение, като вземем предвид получените трансформации:
4 log 25 (x - 1) - 3 + 2 / log 5 (x - 1) \u003d 1
В знаменателя на фракцията имаме log 5 (x - 1), а в първия член имаме log 25 (x - 1). Но 25 \u003d 5 2, така че изваждаме квадрата от основата на логаритъма според правилото:
С други думи, мощността в основата на логаритъма става част отпред. И изразът ще бъде пренаписан, както следва:
4 1/2 log 5 (x - 1) - 3 + 2 / log 5 (x - 1) - 1 \u003d 0
Имаме дълго уравнение с куп еднакви логаритми. Нека въведем нова променлива:
log 5 (x - 1) \u003d t;
2t - 4 + 2 / t \u003d 0;
Но това вече е дробно рационално уравнение, което се решава с помощта на 8-9 степенна алгебра. Първо, нека разделим всичко на две:
t - 2 + 1 / t \u003d 0;
(t 2 - 2t + 1) / t \u003d 0
Точният квадрат е в скоби. Нека го свием:
(t - 1) 2 / t \u003d 0
Дробът е нула, когато числителят му е нула, а знаменателят му е ненулев. Никога не забравяйте този факт:
(t - 1) 2 \u003d 0
t \u003d 1
t ≠ 0
Не забравяйте какво е t:
log 5 (x - 1) \u003d 1
log 5 (x - 1) \u003d log 5 5
Отърваваме се от знаците на дневника, изравняваме техните аргументи и получаваме:
x - 1 \u003d 5 ⇒ x \u003d 6
Всичко. Проблемът е решен. Но нека се върнем към първоначалното уравнение и не забравяме, че имаше два логаритма с променливата х наведнъж. Следователно трябва да запишете обхвата. Тъй като x - 1 е в аргумента на логаритъма, този израз трябва да е по-голям от нула:
x - 1\u003e 0
От друга страна, същият x - 1 също присъства в основата, така че трябва да се различава от един:
x - 1 ≠ 1
Следователно заключаваме:
x\u003e 1; x ≠ 2
Тези изисквания трябва да бъдат изпълнени едновременно. Стойността x \u003d 6 удовлетворява и двете изисквания, така че x \u003d 6 е окончателното решение на логаритмичното уравнение.
Нека да преминем към втората задача:
Отново, нека не бързаме и да разглеждаме всеки термин:
log 4 (x + 1) - в основата има четири. Обикновено число и можете да го оставите на мира. Но последния път попаднахме на точен квадрат в основата, който трябваше да бъде премахнат от знака на логаритъма. Нека направим същото сега:
log 4 (x + 1) \u003d 1/2 log 2 (x + 1)
Номерът е, че вече имаме логаритъм с променлива x, макар и в основата - това е обратното на логаритъма, което току-що намерихме:
8 log x + 1 2 \u003d 8 (1 / log 2 (x + 1)) \u003d 8 / log 2 (x + 1)
Следващият член е log 2 8. Това е константа, тъй като и аргументът, и основата са обикновени числа. Нека намерим стойността:
log 2 8 \u003d log 2 2 3 \u003d 3
Можем да направим същото с последния логаритъм:
Сега нека пренапишем първоначалното уравнение:
1/2 дневник 2 (x + 1) + 8 / log 2 (x + 1) - 3 - 1 \u003d 0;
log 2 (x + 1) / 2 + 8 / log 2 (x + 1) - 4 \u003d 0
Нека да доведем всичко до общ знаменател:
Пред нас отново е дробно-рационално уравнение. Нека въведем нова променлива:
t \u003d log 2 (x + 1)
Нека пренапишем уравнението, като вземем предвид новата променлива:
Бъдете внимателни: на тази стъпка смених условията. Числителят на фракцията съдържа квадрата на разликата:
Както миналия път, дроб е нула, когато числителят му е нула, а знаменателят му е ненулев:
(t - 4) 2 \u003d 0 ⇒ t \u003d 4;
t ≠ 0
Получихме един корен, който отговаря на всички изисквания, затова се връщаме към променливата x:
log 2 (x + 1) \u003d 4;
log 2 (x + 1) \u003d log 2 2 4;
x + 1 \u003d 16;
x \u003d 15
Това е, решихме уравнението. Но тъй като в първоначалното уравнение имаше няколко логаритма, е необходимо да се запише областта на дефиницията.
И така, изразът x + 1 се появява в аргумента на логаритъма. Следователно, х + 1\u003e 0. От друга страна, х + 1 също присъства в основата, т.е. x + 1 ≠ 1. Общо:
0 ≠ x\u003e −1
Намереният корен отговаря ли на тези изисквания? Разбира се. Следователно x \u003d 15 е решението на първоначалното логаритмично уравнение.
Накрая бих искал да кажа следното: ако погледнете уравнение и разберете, че трябва да решите нещо сложно и нестандартно, опитайте се да изберете стабилни конструкции, които впоследствие ще бъдат обозначени с друга променлива. Ако някои термини изобщо не съдържат променливата x, те често могат да бъдат изчислени просто.
Това е всичко, за което исках да говоря днес. Надявам се този урок да ви помогне да решите сложни логаритмични уравнения. Гледайте други видео уроци, изтегляйте и решавайте самостоятелна работа, и ще се видим в следващото видео!
Математиката е повече от наукае езикът на науката.
Датски физик, общественик Нилс Бор
Логаритмични уравнения
Сред типичните задачи, предлага се на входните (състезателни) тестове, са задачи, свързани с решението на логаритмични уравнения. За успешното решаване на подобни проблеми е необходимо да се познават добре свойствата на логаритмите и да има умения за тяхното прилагане.
Тази статия първо представя основните понятия и свойства на логаритмите, и след това се разглеждат примери за решаване на логаритмични уравнения.
Основни понятия и свойства
Първо, представяме основните свойства на логаритмите, чието използване ви позволява успешно да решавате относително сложни логаритмични уравнения.
Основната логаритмична идентичност се записва като
, (1)
Сред най-известните свойства на логаритмите са следните равенства:
1. Ако ,, и, тогава ,,
2. Ако ,,, и, тогава.
3. Ако ,, и, тогава.
4. Ако ,, и естествено числотогава
5. Ако ,, и естествено числотогава
6. Ако ,, и, тогава.
7. Ако ,, и, тогава.
По-сложните свойства на логаритмите се формулират чрез следните твърдения:
8. Ако ,,, и, тогава
9. Ако ,, и, тогава
10. Ако ,,, и, тогава
Доказателството за последните две свойства на логаритмите е дадено в учебника на автора „Математика за ученици в гимназията: допълнителни раздели на училищната математика“ (Москва: Ленанд / URSS, 2014).
Също така заслужава вниманиече функцията се увеличава, ако и намалява, ако.
Разгледайте примери за задачи за решаване на логаритмични уравнения, подредени във възходящ ред на сложност.
Примери за решаване на проблеми
Пример 1... Решете уравнението
. (2)
Решение. От уравнение (2) имаме. Ние преобразуваме уравнението, както следва :, или.
Като , тогава коренът на уравнението (2) е.
Отговор:.
Пример 2... Решете уравнението
Решение. Уравнение (3) е еквивалентно на уравненията
Или .
От тук стигаме.
Отговор:.
Пример 3. Решете уравнението
Решение. Уравнение (4) предполага, Какво . Използване на основната логаритмична идентичност (1), можеш да пишеш
или .
Ако сложим, тогава получаваме квадратното уравнение, който има два корена и. Следователно, следователно и подходящ корен от уравнението е само. Тъй като, тогава или.
Отговор:.
Пример 4. Решете уравнението
Решение.Обхватът на валидните стойности на променливата в уравнение (5) са.
Нека u ... Тъй като функцията на домейна намаляваи функцията се увеличава по цялата числова ос, след това уравнението не може да има повече от един корен.
Намираме единствения корен чрез селекция.
Отговор:.
Пример 5. Решете уравнението.
Решение. Ако и двете страни на уравнението са логаритъм към основа 10, тогава
Или .
Решавайки квадратното уравнение по отношение, получаваме и. Следователно, тук имаме и.
Отговор:,.
Пример 6. Решете уравнението
. (6)
Решение.Ще използваме идентичност (1) и ще преобразуваме уравнение (6), както следва:
Или .
Отговор:,.
Пример 7. Решете уравнението
. (7)
Решение. Като вземем предвид свойство 9, имаме. В това отношение уравнението (7) приема формата
От тук получаваме или.
Отговор:.
Пример 8. Решете уравнението
. (8)
Решение.Нека използваме свойство 9 и пренапишем уравнение (8) в еквивалентна форма.
Ако тогава обозначим, тогава получаваме квадратното уравнениекъдето ... Тъй като уравнението има само един положителен корен, след това или. Това предполага .
Отговор:.
Пример 9. Решете уравнението
. (9)
Решение. Тъй като уравнението (9) предполагатогава тук. Според имот 10, можеш да пишеш.
В това отношение уравнение (9) ще бъде еквивалентно на уравненията
Или .
От това получаваме корена на уравнението (9).
Пример 10. Решете уравнението
. (10)
Решение. Обхватът на приемливите стойности на променливата в уравнение (10) е. Според свойство 4, тук имаме
. (11)
Тъй като уравнението (11) приема формата квадратно уравнение където. Корените на квадратното уравнение са и.
От тогава. Следователно получаваме и.
Отговор:,.
Пример 11. Решете уравнението
. (12)
Решение. Означаваме тогава и уравнение (12) приема формата
Или
. (13)
Лесно е да се види, че коренът на уравнението (13) е. Нека покажем, че това уравнение няма други корени. За целта разделяме двете му части на и получаваме еквивалентното уравнение
. (14)
Тъй като функцията намалява и функцията се увеличава по цялата числова ос, уравнението (14) не може да има повече от един корен. Тъй като уравнения (13) и (14) са еквивалентни, уравнението (13) има един корен.
От тогава.
Отговор:.
Пример 12. Решете уравнението
. (15)
Решение. Нека означим и. Тъй като функцията намалява в областта на дефиницията и функцията се увеличава за всякакви стойности, уравнението не може да има обхват от един корен. Чрез директен подбор установяваме, че желаният корен от уравнение (15) е.
Отговор:.
Пример 13. Решете уравнението
. (16)
Решение. Използвайки свойствата на логаритмите, получаваме
От тогава и имаме неравенството
Полученото неравенство съвпада с уравнение (16) само в случаите, когато или.
Заместване на стойност в уравнение (16), ние сме убедени, че, Какво е неговият корен.
Отговор:.
Пример 14. Решете уравнението
. (17)
Решение. Тъй като тук, тогава уравнението (17) приема формата.
Ако сложим, тогава от тук получаваме уравнението
, (18)
където. Уравнение (18) предполага: или. Тъй като тогава уравнението има един подходящ корен. Следователно, и.
Пример 15. Решете уравнението
. (19)
Решение. Обозначете, тогава уравнението (19) приема формата. Ако това уравнение е логаритъм към основа 3, тогава получаваме
Или
Оттук следва, че и. От тогава. В това отношение и.
Отговор:,.
Пример 16. Решете уравнението
. (20)
Решение. Нека въведем параметъра и пренапишете уравнение (20) като квадратно уравнение за параметъра, т.е.
. (21)
Корените на уравнението (21) са
или , . Тъй като тогава имаме уравнения и. Следователно получаваме и.
Отговор:,.
Пример 17. Решете уравнението
. (22)
Решение. За да се установи областта на дефиниция на променливата в уравнение (22), е необходимо да се разгледа набор от три неравенства :, и.
Прилагане на собственост 2, от уравнение (22) получаваме
Или
. (23)
Ако в уравнение (23) поставим, тогава получаваме уравнението
. (24)
Уравнение (24) ще бъде решено, както следва:
Или
Оттук следва, че и, т.е. уравнение (24) има два корена: и.
Тъй като, тогава или.
Отговор:,.
Пример 18. Решете уравнението
. (25)
Решение. Използвайки свойствата на логаритмите, ние преобразуваме уравнение (25), както следва:
, , .
От тук стигаме.
Пример 19. Решете уравнението
. (26)
Решение. От тогава.
Освен това имаме. Следователно, равенството (26) е изпълнено само ако, когато двете страни на уравнението са едновременно равни на 2.
По този начин , уравнение (26) е еквивалентно на системата от уравнения
От второто уравнение на системата получаваме
Или .
Не е трудно да бъдеш убедентази стойност удовлетворява и първото уравнение на системата.
Отговор:.
За по-задълбочено проучване на методите за решаване на логаритмични уравнения можете да се обърнете към уроците от списъка с препоръчителна литература.
1. Кушнир А.И. Шедьоври на училищната математика (задачи и решения в две книги). - Киев: Астарта, книга 1, 1995. - 576 с.
2. Сборник от задачи по математика за кандидати в технически колежи / Изд. М.И. Сканави. - М.: Мир и образование, 2013. - 608 с.
3. Супрун В.П. Математика за ученици в гимназията: допълнителни раздели училищна програма... - М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
4. Супрун В.П. Математика за гимназисти: проблеми с повишена сложност. - М.: CD "Librokom" / URSS, 2017. - 200 с.
5. Супрун В.П. Математика за ученици в гимназията: нестандартни методи за решаване на проблеми. - М.: CD "Librokom" / URSS, 2017. - 296 с.
Все още имате въпроси?
За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.
сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.
Логаритмично уравнение се нарича уравнение, при което неизвестното (x) и изразите с него са под знака на логаритмична функция. Решаването на логаритмични уравнения предполага, че вече сте запознати с и.
Как да решим логаритмични уравнения?
Най-простото уравнение е log a x \u003d b, където a и b са някои числа, x е неизвестно.
Чрез решаване на логаритмичното уравнение е x \u003d a b при условие: a\u003e 0, a 1.
Трябва да се отбележи, че ако x е някъде извън логаритъма, например log 2 x \u003d x-2, тогава такова уравнение вече се нарича смесено и е необходим специален подход за решаването му.
Идеалният случай е ситуация, когато попаднете на уравнение, при което само числата са под знака на логаритъма, например x + 2 \u003d log 2 2. Тук е достатъчно да знаете свойствата на логаритмите, за да го разрешите. Но този вид късмет не се случва често, така че се пригответе за по-трудни неща.
Но първо, в края на краищата, нека започнем с прости уравнения. За да ги разрешите, е желателно да имате най-общо разбиране за логаритъма.
Решаване на най-простите логаритмични уравнения
Те включват уравнения като log 2 x \u003d log 2 16. Невъоръжено око може да види, че като отпадне знакът на логаритъма, получаваме x \u003d 16.
За да се реши по-сложно логаритмично уравнение, то обикновено се свежда до решаване на обикновено алгебрично уравнение или до решаване на най-простото логаритмично уравнение log a x \u003d b. В най-простите уравнения това се случва с едно движение, поради което те се наричат \u200b\u200bнай-простите.
Горният метод за намаляване на логаритмите е един от основните начини за решаване на логаритмични уравнения и неравенства. В математиката тази операция се нарича потенциране. Има определени правила или ограничения за този вид операции:
- равни числени бази за логаритми
- логаритмите от двете страни на уравнението се намират свободно, т.е. без никакви коефициенти и други различни видове изрази.
Да кажем, че в дневника на уравненията 2 x \u003d 2log 2 (1-x) потенцирането не е приложимо - коефициентът 2 вдясно не позволява. В следващия пример log 2 x + log 2 (1 - x) \u003d log 2 (1 + x) също не успява да изпълни едно от ограниченията - вляво има два логаритма. Това би било едно - съвсем различен въпрос!
По принцип можете да премахнете логаритми само ако уравнението има формата:
log a (...) \u003d log a (...)
Абсолютно всякакви изрази могат да бъдат намерени в скоби, това няма абсолютно никакъв ефект върху действието на потенциране. И след премахването на логаритмите ще остане по-просто уравнение - линейно, квадратно, експоненциално и т.н., което се надявам вече да знаете как да решите.
Да вземем друг пример:
log 3 (2x-5) \u003d log 3 x
Прилагаме потенциране, получаваме:
log 3 (2x-1) \u003d 2
Въз основа на дефиницията на логаритъма, а именно, че логаритъмът е числото, до което трябва да се издигне основата, за да се получи израз, който е под знака на логаритъма, т.е. (4x-1), получаваме:
Отново получихме хубав отговор. Тук се отказахме от елиминирането на логаритмите, но тук е приложимо усилване, тъй като логаритъм може да бъде направен от произволно число и точно това, от което се нуждаем. Този метод е много полезен при решаване на логаритмични уравнения и особено на неравенства.
Нека решим нашето логаритмично уравнение log 3 (2x-1) \u003d 2, като използваме потенциране:
Нека представим числото 2 като логаритъм, например такъв дневник 3 9, защото 3 2 \u003d 9.
След това log 3 (2x-1) \u003d log 3 9 и отново получаваме същото уравнение 2x-1 \u003d 9. Надявам се всичко да е ясно.
Затова разгледахме как да решим най-простите логаритмични уравнения, които всъщност са много важни, защото решаване на логаритмични уравнения, дори и най-страшното и изкривено, в крайна сметка винаги се свежда до решаване на най-простите уравнения.
Във всичко, което направихме по-горе, изпуснахме от поглед една много важна точка, която в бъдеще ще има решаваща роля. Факт е, че решението на всяко логаритмично уравнение, дори и най-елементарното, се състои от две еквивалентни части. Първото е решението на самото уравнение, второто е работата с обхвата на допустимите стойности (ADV). Това е само първата част, която сме усвоили. В горните примери DHS не влияе по никакъв начин на отговора, така че не го разгледахме.
Да вземем друг пример:
log 3 (x 2 -3) \u003d log 3 (2x)
Външно това уравнение не се различава от елементарното, което е много успешно решено. Но не е така. Не, ние, разбира се, ще го разрешим, но най-вероятно ще е погрешно, защото в него има малка засада, в която веднага се хващат както C-студенти, така и A-студенти. Нека го разгледаме по-отблизо.
Да предположим, че трябва да намерите корена на уравнение или сумата от корени, ако има няколко:
log 3 (x 2 -3) \u003d log 3 (2x)
Използваме потенциране, тук е допустимо. В резултат на това получаваме обичайното квадратно уравнение.
Намерете корените на уравнението:
Оказаха се два корена.
Отговор: 3 и -1
На пръв поглед всичко е правилно. Но нека проверим резултата и го включим в оригиналното уравнение.
Нека започнем с x 1 \u003d 3:
дневник 3 6 \u003d дневник 3 6
Проверката беше успешна, сега опашката x 2 \u003d -1:
log 3 (-2) \u003d log 3 (-2)
Така че спри! Външно всичко е перфектно. Една точка - няма логаритми на отрицателни числа! Това означава, че коренът x \u003d -1 не е подходящ за решаване на нашето уравнение. И следователно верният отговор ще бъде 3, а не 2, както писахме.
Тук ODZ изигра фаталната си роля, за която забравихме.
Позволете ми да ви напомня, че в диапазона от валидни стойности се приемат такива стойности на x, които са разрешени или имат смисъл за оригиналния пример.
Без ODZ всяко решение, дори абсолютно правилно, на всяко уравнение се превръща в лотария - 50/50.
Как бихме могли да ни хванат, докато решаваме елементарен на пръв поглед пример? Но точно в момента на потенциране. Логаритмите изчезнаха, а с тях и всички ограничения.
Какво тогава да направя? Да откажете да премахнете логаритмите? И напълно да откажете да решите това уравнение?
Не, ние просто, като истински герои от една известна песен, ще обикаляме!
Преди да пристъпим към решението на което и да е логаритмично уравнение, ще запишем ODZ. Но след това можете да направите каквото пожелае сърцето ви с нашето уравнение. След като получихме отговора, ние просто изхвърляме тези корени, които не са включени в нашия ODZ, и записваме окончателната версия.
Сега нека решим как да напишем ODZ. За да направим това, ние внимателно изследваме първоначалното уравнение и търсим подозрителни места в него, като разделяне на x, четен корен и т.н. Докато не решим уравнението, не знаем на какво е равно x, но твърдо знаем, че такова x, което, когато бъде заместено, ще даде деление на 0 или ще вземе квадратния корен от отрицателно число, със сигурност няма да работи в отговора. Следователно такива х са неприемливи, докато останалите ще съставляват ODZ.
Нека използваме отново същото уравнение:
log 3 (x 2 -3) \u003d log 3 (2x)
log 3 (x 2 -3) \u003d log 3 (2x)
Както можете да видите, няма разделение на 0, няма и квадратни корени, но има изрази с х в тялото на логаритъма. Веднага припомняме, че изразът вътре в логаритъма винаги трябва да бъде\u003e 0. Записваме това условие под формата на ODZ:
Тези. все още не сме решили нищо, но вече сме записали предпоставка за целия суб-логаритмичен израз. Къдравата скоба означава, че тези условия трябва да бъдат изпълнени едновременно.
ODZ е записан, но също така е необходимо да се реши получената система от неравенства, което ще направим. Получаваме отговора x\u003e v3. Сега знаем със сигурност кой x няма да работи за нас. И тогава вече започваме да решаваме самото логаритмично уравнение, което направихме по-горе.
След като получихме отговорите x 1 \u003d 3 и x 2 \u003d -1, лесно можем да видим, че само x1 \u003d 3 е подходящ за нас и ние го записваме като окончателен отговор.
За в бъдеще е много важно да запомните следното: правим решението на всяко логаритмично уравнение на 2 етапа. Първият - решаваме самото уравнение, вторият - решаваме условието на ODD. И двата етапа се извършват независимо един от друг и се сравняват само при писане на отговор, т.е. изхвърляме всичко ненужно и записваме верния отговор.
За да консолидираме материала, силно препоръчваме да гледате видеоклипа:
Във видеото има и други примери за дневника. уравнения и разработване на метода на интервалите на практика.
По този въпрос, как да решим логаритмични уравнения, за сега. Ако нещо е решено от дневника. уравненията останаха неясни или неразбираеми, напишете вашите въпроси в коментарите.
Забележка: Академията за социално образование (KSUI) е готова да приеме нови студенти.