) και ο παρονομαστής του παρονομαστή (ο παρονομαστής του προϊόντος).
Φόρμουλα Πολλαπλασιασμού Κλάσματος:
Για παράδειγμα:
Πριν προχωρήσουμε στον πολλαπλασιασμό αριθμητών και παρανομαστών, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε τη δυνατότητα μείωσης των κλασμάτων. Εάν κατορθώσετε να μειώσετε το κλάσμα, τότε θα είναι ευκολότερο για σας να συνεχίσετε να κάνετε υπολογισμούς.
Κατανομή ενός συνήθους κλάσματος σε κλάσμα.
Κατανομή κλάσεων με τη συμμετοχή φυσικού αριθμού.
Αυτό δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο φαίνεται. Όπως και στην περίπτωση της προσθήκης, μεταφράζουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με μια μονάδα στον παρονομαστή. Για παράδειγμα:
Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.
Κανόνες πολλαπλασιασμού των κλασμάτων (μικτές):
- μετατρέπουμε τα μικτά κλάσματα σε λανθασμένα κλάσματα.
- πολλαπλασιάζονται οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων.
- μειώστε το κλάσμα.
- αν πάρετε το λάθος κλάσμα, τότε μετατρέψτε το λάθος κλάσμα σε μικτό.
Δώστε προσοχή! Για να πολλαπλασιάσετε ένα μικτό κλάσμα με ένα άλλο μεικτό κλάσμα, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στη μορφή ακανόνιστων κλασμάτων και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα πολλαπλασιασμού των συνήθων κλασμάτων.
Ο δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού των κλασμάτων με φυσικό αριθμό.
Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείται η δεύτερη μέθοδος πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.
Δώστε προσοχή! Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσουμε τον αριθμητή αμετάβλητο.
Από το παραπάνω παράδειγμα, είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή είναι πιο βολική για χρήση όταν ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρείται με φυσικό αριθμό.
Πολλαπλά ιστορία κλάσματα.
Στο γυμνάσιο, συχνά βρίσκονται τρία ιστορικά (ή περισσότερα) κλάσματα. Ένα παράδειγμα:
Για να φέρετε ένα τέτοιο κλάσμα στη συνήθη μορφή του, χρησιμοποιήστε διαίρεση μέσω 2 σημείων:
Δώστε προσοχή!Στη διαίρεση των κλάσεων, η διαίρεση είναι πολύ σημαντική. Προσέξτε, είναι εύκολο να μπερδευτείτε.
Παρακαλώ σημειώστε για παράδειγμα:
Κατά τη διαίρεση της μονάδας από οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο αντίστροφο:
Πρακτικές συμβουλές για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των κλασμάτων:
1. Το πιο σημαντικό πράγμα στην εργασία με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η φροντίδα. Κάνετε όλους τους υπολογισμούς προσεκτικά και με ακρίβεια, με εστίαση και σαφή. Είναι καλύτερα να γράψετε μερικές επιπλέον γραμμές στο σχέδιο, αντί να συγχέεται στους υπολογισμούς στο μυαλό σας.
2. Σε εργασίες με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων - πηγαίνετε στον τύπο των συνήθων κλασμάτων.
3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να μην είναι πλέον δυνατή η μείωση.
4. Οι κλασματικές εκφράσεις πολλαπλών ορόφων δίδονται με τη μορφή συνηθισμένων, χρησιμοποιώντας διαίρεση μέσω 2 σημείων.
5. Διαιρέστε τη μονάδα ανά κλάσμα στο μυαλό απλά αναστρέφοντας το κλάσμα.
Μια άλλη ενέργεια που μπορεί να εκτελεστεί με συνήθη κλάσματα είναι ο πολλαπλασιασμός. Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε τους βασικούς κανόνες της για την επίλυση προβλημάτων, να δείξουμε πώς πολλαπλασιάζεται ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό και πώς να πολλαπλασιάζεται σωστά τρία συνήθη κλάσματα και πολλά άλλα.
Αρχικά, γράψτε τον βασικό κανόνα:
Ορισμός 1
Αν πολλαπλασιάσουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα, τότε ο αριθμητής του κλάσματος που προκύπτει ως αποτέλεσμα θα είναι ίσος με το προϊόν των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων και ο παρονομαστής με το προϊόν των παρονομαστών τους. Στην κυριολεκτική μορφή για δύο κλάσματα a / b και c / d, αυτό μπορεί να εκφραστεί ως b · c d \u003d a · c b · d.
Ας δούμε ένα παράδειγμα πώς να εφαρμόζουμε σωστά αυτόν τον κανόνα. Υποθέστε ότι έχουμε ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά είναι ίση με μια αριθμητική μονάδα. Στη συνέχεια, η περιοχή του αριθμού θα είναι 1 τετραγωνικό. μονάδα. Αν διαιρούμε το τετράγωνο σε ίσα ορθογώνια με πλευρές ίσες με το 1 4 και το 1 8 της αριθμητικής μονάδας, έχουμε ότι τώρα αποτελείται από 32 ορθογώνια (επειδή 8,4 \u003d 32). Κατά συνέπεια, η περιοχή καθενός από αυτά θα είναι ίση με 1 32 της περιοχής ολόκληρου του αριθμού, δηλ. 1 32 τ.μ. μονάδες.
Έχουμε ένα σκιασμένο κομμάτι με πλευρές ίσες με 5 8 αριθμητικές μονάδες και 3 4 αριθμητικές μονάδες. Συνεπώς, για να υπολογίσετε την περιοχή του, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το δεύτερο. Θα είναι ίσο με 5 8 · 3 4 τετρ. μονάδες. Αλλά μπορούμε απλά να υπολογίσουμε πόσα ορθογώνια περιλαμβάνονται στο κομμάτι: υπάρχουν 15 από αυτά, πράγμα που σημαίνει ότι η συνολική έκταση είναι 15 32 τετραγωνικές μονάδες.
Από το 5 · 3 \u003d 15 και το 8 · 4 \u003d 32, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη ισότητα:
5 8 · 3 4 \u003d 5 · 3 8 · 4 \u003d 15 32
Είναι μια επιβεβαίωση του κανόνα πολλαπλασιασμού των συνήθων κλασμάτων που διατυπώνονται από εμάς, η οποία εκφράζεται ως b · c d \u003d a · c b · d. Λειτουργεί το ίδιο για κανονικά και ακανόνιστα κλάσματα. χρησιμοποιώντας το, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα με διαφορετικούς και ταυτόσημους παρονομαστές.
Ας εξετάσουμε τις λύσεις πολλών προβλημάτων πολλαπλασιάζοντας τα συνήθη κλάσματα.
Παράδειγμα 1
Πολλαπλασιάστε 7 11 με 9 8.
Λύση
Αρχικά, υπολογίζουμε το προϊόν των αριθμητών αυτών των κλασμάτων, πολλαπλασιάζοντας τα 7 με 9. Έχουμε 63. Κατόπιν υπολογίζουμε το προϊόν των παρονομαστών και παίρνουμε: 11 · 8 \u003d 88. Ας τις συνθέσουμε με δύο αριθμούς: 63 88.
Η όλη λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
7 11 · 9 8 \u003d 7 · 9 11 · 8 \u003d 63 88
Η απάντηση είναι: 7 11 9 9 \u003d 63 88.
Αν πάρουμε ένα συσταλτικό κλάσμα στην απάντηση, πρέπει να ολοκληρώσουμε τον υπολογισμό και να ολοκληρώσουμε τη μείωση του. Αν πάρουμε το λάθος κλάσμα, πρέπει να απομονώσουμε ολόκληρο το κομμάτι από αυτό.
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το προϊόν των κλασμάτων 4 15 και 55 6.
Λύση
Σύμφωνα με τον κανόνα που μελετήσαμε παραπάνω, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Το αρχείο λύσεων θα μοιάζει με αυτό:
4 15 · 55 6 \u003d 4 · 55 15 · 6 \u003d 220 90
Έχουμε ένα συσταλτικό κλάσμα, δηλ. ένα που έχει ένα σημάδι διαχωρισμού κατά 10.
Ας μειώσουμε το κλάσμα: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Ως αποτέλεσμα, πήραμε το λανθασμένο κλάσμα, από το οποίο εξάγουμε το ακέραιο τμήμα και παίρνουμε ένα μικτό αριθμό: 22 9 \u003d 2 4 9.
Η απάντηση είναι: 4 15 · 55 6 \u003d 2 4 9.
Για ευκολία υπολογισμού μπορούμε να μειώσουμε τα αρχικά κλάσματα προτού εκτελέσουμε τη δράση πολλαπλασιασμού, για την οποία πρέπει να μειώσουμε το κλάσμα στη μορφή a · c b · d. Διαχωρίζουμε τις τιμές των μεταβλητών σε πρωταρχικούς παράγοντες και μειώνουμε τις ίδιες.
Ας εξηγήσουμε πώς φαίνεται με τη χρήση των δεδομένων μιας συγκεκριμένης εργασίας.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το προϊόν 4 15 · 55 6.
Λύση
Γράφουμε τους υπολογισμούς βάσει του κανόνα πολλαπλασιασμού. Θα πετύχουμε:
4 15 · 55 6 \u003d 4 · 55 15 · 6
Δεδομένου ότι 4 \u003d 2 · 2, 55 \u003d 5 · 11, 15 \u003d 3,5 και 6 \u003d 2,3, προκύπτει ότι 4,55 15,6 \u003d 2 · 5 · 11 3 · 5 · 2 · 3.
2 · 11 3 · 3 \u003d 22 9 \u003d 2 4 9
Η απάντηση: 4 15 · 55 6 \u003d 2 4 9.
Η αριθμητική έκφραση στην οποία λαμβάνει χώρα ο πολλαπλασιασμός των συνήθων κλασμάτων έχει μια μεταφραστική ιδιότητα, δηλαδή εάν είναι απαραίτητο, μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων:
a b · c d \u003d c d · a b \u003d a · c b · d
Πώς να πολλαπλασιάσετε ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό
Γράφουμε τον βασικό κανόνα αμέσως και στη συνέχεια προσπαθούμε να το εξηγήσουμε στην πράξη.
Ορισμός 2
Για να πολλαπλασιάσετε ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή αυτού του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό. Ο παρονομαστής του προκύπτοντος κλάσματος θα είναι ίσος με τον παρονομαστή του αρχικού συνηθισμένου κλάσματος. Ο πολλαπλασιασμός κάποιου κλάσματος a b με έναν φυσικό αριθμό n μπορεί να γραφεί με τη μορφή του τύπου a b · n \u003d a · n b.
Είναι εύκολο να κατανοήσουμε αυτόν τον τύπο εάν θυμηθούμε ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν παρονομαστή ίσο με την ενότητα, δηλαδή:
a b n \u003d a b n 1 \u003d a n b 1 \u003d a n b
Ας εξηγήσουμε την ιδέα μας με συγκεκριμένα παραδείγματα.
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε το προϊόν των 2 27 κατά 5.
Λύση
Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αριθμητή του αρχικού κλάσματος με τον δεύτερο παράγοντα, έχουμε 10. Με τον κανόνα που αναφέρθηκε παραπάνω, θα έχουμε ως αποτέλεσμα 10 27. Όλες οι λύσεις δίνονται σε αυτήν την καταχώρηση:
2 27 · 5 \u003d 2 · 5 27 \u003d 10 27
Η απάντηση είναι: 2 27,5 \u003d 10 27
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με ένα συνηθισμένο κλάσμα, συχνά πρέπει να μειώσουμε το αποτέλεσμα ή να το παρουσιάσουμε ως μικτό αριθμό.
Παράδειγμα 5
Κατάσταση: υπολογίστε το προϊόν των 8 με 5 12.
Λύση
Με τον παραπάνω κανόνα, πολλαπλασιάζουμε έναν φυσικό αριθμό με έναν αριθμητή. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ως αποτέλεσμα ότι 5 12 · 8 \u003d 5 · 8 12 \u003d 40 12. Το προκύπτον κλάσμα έχει σημάδια διαχωρισμού κατά 2, οπότε πρέπει να το μειώσουμε:
NOC (40, 12) \u003d 4, που σημαίνει 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Τώρα πρέπει να επιλέξουμε ολόκληρο το μέρος και να γράψουμε την τελική απάντηση: 10 3 \u003d 3 1 3.
Σε αυτή την εγγραφή μπορείτε να δείτε ολόκληρη τη λύση: 5 12 · 8 \u003d 5 · 8 12 \u003d 40 12 \u003d 10 3 \u003d 3 1 3.
Θα μπορούσαμε επίσης να μειώσουμε το κλάσμα με την αποσύνθεση του αριθμητή και του παρονομαστή σε πρωταρχικούς παράγοντες, και το αποτέλεσμα θα ήταν ακριβώς το ίδιο.
Η απάντηση είναι: 5 12,8 \u003d 3 1 3.
Μια αριθμητική έκφραση στην οποία ένας φυσικός αριθμός πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα έχει επίσης την ιδιότητα της μετατόπισης, δηλαδή η σειρά των παραγόντων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα:
a b n \u003d a n a b \u003d a n b
Πώς να πολλαπλασιάσετε τρία ή περισσότερα συνήθη κλάσματα
Μπορούμε να επεκτείνουμε στη δράση του πολλαπλασιασμού των συνήθων κλασμάτων τις ίδιες ιδιότητες που είναι χαρακτηριστικές για τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών. Αυτό προκύπτει από τον ίδιο τον ορισμό αυτών των εννοιών.
Χάρη στη γνώση των ιδιοτήτων συνδυασμού και μετατόπισης, μπορούν να πολλαπλασιαστούν τρία συνήθη κλάσματα και πολλά άλλα. Επιτρέπεται η αναδιάταξη των παραγόντων σε θέσεις για μεγαλύτερη ευκολία ή η διευθέτηση των στηριγμάτων κατά τρόπο που θα είναι ευκολότερο να μετρηθούν.
Δείχνουμε ένα παράδειγμα για το πώς γίνεται αυτό.
Παράδειγμα 6
Πολλαπλασιάστε τα τέσσερα συνήθη κλάσματα 1 20, 12 5, 3 7 και 5 8.
Λύση: Καταγράψτε πρώτα την εργασία. Παίρνουμε 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8. Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε μεταξύ μας όλους τους αριθμητές και όλους τους παρονομαστές: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 \u003d 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8.
Πριν από την έναρξη του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να κάνουμε το καθήκον μας λίγο πιο εύκολο και να αποσυνθέσουμε ορισμένους αριθμούς σε βασικούς παράγοντες για περαιτέρω μείωση. Αυτό θα είναι ευκολότερο από τη μείωση του τελικού κλάσματος που προκύπτει από αυτό.
1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 \u003d 1 · 2 · 3 · 3 · 5 · 2 · 5 · 5 · 7 (2 · 2 · 2) \u003d 3 · 5 · · 7,2,2,2 \u003d 9,280
Η απάντηση είναι: 1 · 12 · 3,5 · 20 · 5 · 7 · 8 \u003d 9 280.
Παράδειγμα 7
Πολλαπλασιάστε 5 αριθμούς 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10.
Λύση
Για ευκολία, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε το κλάσμα 7 8 με τον αριθμό 8 και τον αριθμό 12 με το κλάσμα 5 36, αφού σε αυτήν την περίπτωση οι μελλοντικές μειώσεις θα είναι προφανείς για εμάς. Ως αποτέλεσμα, θα επιτύχουμε:
7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 \u003d 7 8 · 8 · 12 · 5 36 · 10 \u003d 7 · 8 8 · 12 · 5 36 · 10 \u003d 7 1 · 2 · 2 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 3 · 10 \u003d \u003d 7 · 5 3 · 10 \u003d 7 · 5 · 10 3 \u003d 350 3 \u003d 116 2 3
Η απάντηση είναι: 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 \u003d 116 2 3.
Αν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, παρακαλούμε επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter
§ 87. Προσθήκη των κλασμάτων.
Η προσθήκη των κλασμάτων έχει πολλές ομοιότητες με την προσθήκη ακέραιων αριθμών. Η προσθήκη των κλασμάτων είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο γεγονός ότι πολλοί δεδομένοι αριθμοί (όροι) συνδυάζονται σε έναν αριθμό (άθροισμα), που περιέχει όλες τις μονάδες και τα κλάσματα των μονάδων.
Θα εξετάσουμε διαδοχικά τρεις περιπτώσεις:
1. Προσθήκη των κλασμάτων με πανομοιότυπους παρονομαστές.
2. Προσθήκη κλάσεων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Προσθήκη μικτών αριθμών.
1. Προσθήκη των κλασμάτων με πανομοιότυπους παρονομαστές.
Εξετάστε ένα παράδειγμα: 1/5 + 2/5.
Πάρτε το τμήμα ΑΒ (εικόνα 17), το παίρνετε σαν μονάδα και το διαιρείτε σε 5 ίσα μέρη, τότε το τμήμα του AC αυτού του τμήματος θα είναι ίσο με το 1/5 του τμήματος ΑΒ και μέρος του ίδιου τμήματος CD θα είναι ίσο με 2/5 ΑΒ.
Το σχέδιο δείχνει ότι αν πάρετε το τμήμα AD, τότε θα είναι ίσο με 3/5 AB. αλλά το τμήμα AD είναι ακριβώς το άθροισμα των τμημάτων AC και CD. Έτσι μπορείτε να γράψετε:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους και το προκύπτον ποσό, βλέπουμε ότι ο αριθμητής του αθροίσματος ελήφθη με την προσθήκη των αριθμητών των όρων και ο παρονομαστής παρέμεινε αμετάβλητος.
Από αυτό έχουμε τον ακόλουθο κανόνα: να προσθέσουμε κλάσματα με πανομοιότυπους παρονομαστές, να προσθέσουμε τους αριθμητές τους και να αφήσουμε τον ίδιο παρονομαστή.
Εξετάστε ένα παράδειγμα:
2. Προσθήκη κλάσεων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Προσθέστε τα κλάσματα: 3/4 + 3/8 Πρώτα πρέπει να μειωθούν στο χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:
Το ενδιάμεσο 6/8 + 3/8 δεν θα μπορούσε να έχει γραφτεί. το γράψαμε εδώ για λόγους σαφήνειας.
Έτσι, για να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τους φέρετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να υπογράψετε έναν κοινό παρονομαστή.
Εξετάστε ένα παράδειγμα (θα γράψουμε πρόσθετους παράγοντες στα αντίστοιχα κλάσματα):
3. Προσθήκη μικτών αριθμών.
Προσθέστε τους αριθμούς: 2 3/8 + 3 5/6.
Αρχικά φέρουμε τα κλασματικά τμήματα των αριθμών μας σε έναν κοινό παρονομαστή και ξαναγράψουμε ξανά:
Τώρα προσθέτουμε διαδοχικά ακέραια και κλασματικά μέρη:
§ 88. Αφαίρεση των κλασμάτων.
Η αφαίρεση των κλασμάτων ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως και η αφαίρεση των ακεραίων. Αυτή είναι μια ενέργεια με την οποία ο άλλος όρος βρίσκεται για ένα δεδομένο άθροισμα δύο όρων και ένα από αυτά. Θεωρούμε διαδοχικά τρεις περιπτώσεις:
1. Αφαίρεση κλασμάτων με πανομοιότυπους παρονομαστές.
2. Αφαίρεση των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.
1. Αφαίρεση κλασμάτων με πανομοιότυπους παρονομαστές.
Εξετάστε ένα παράδειγμα:
13 / 15 - 4 / 15
Πάρτε το τμήμα ΑΒ (εικ. 18), πάρτε το ως μονάδα και διαιρέστε το σε 15 ίσα μέρη. τότε μέρος του AC αυτού του τμήματος θα είναι 1/15 του ΑΒ, και το μέρος AD του ίδιου τμήματος θα αντιστοιχεί στο 13/15 AB. Αναβάλλουμε ένα άλλο τμήμα ED ίσο με 4/15 ΑΒ.
Πρέπει να αφαιρέσουμε 4/15 από 13/15. Στο σχέδιο, αυτό σημαίνει ότι το τμήμα ED πρέπει να αφαιρεθεί από το τμήμα AD. Ως αποτέλεσμα, παραμένει το τμήμα ΑΕ, το οποίο είναι 9/15 του τμήματος ΑΒ. Έτσι μπορούμε να γράψουμε:
Το παράδειγμά μας δείχνει ότι ο αριθμητής της διαφοράς λαμβάνεται αφαιρώντας τους αριθμητές και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος.
Επομένως, για να αφαιρέσετε τα κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του αριθμού που πρέπει να μειωθεί από τον αριθμητή και να μειώσετε τον προηγούμενο παρονομαστή.
2. Αφαίρεση των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Ένα παράδειγμα. 3/4 - 5/8
Αρχικά φέρουμε αυτά τα κλάσματα στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:
Το ενδιάμεσο 6/8 - 5/8 γράφεται εδώ για λόγους σαφήνειας, αλλά μπορείτε να το παρακάμψετε στο μέλλον.
Έτσι, για να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, πρέπει πρώτα να τους φέρετε στον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή, τότε αφαιρέστε τον αφαιρέτη από τον μειωμένο αριθμητή και υπογράψτε τον κοινό παρονομαστή κάτω από τη διαφορά τους.
Εξετάστε ένα παράδειγμα:
3. Αφαίρεση μικτών αριθμών.
Ένα παράδειγμα. 10 3/4 - 7 2/3.
Ας φέρουμε τα κλασματικά τμήματα των μειωμένων και αφαιρεθέντων στο χαμηλότερο κοινό παρονομαστή:
Έχουμε αφαιρέσει το σύνολο από το σύνολο και το κλάσμα από το κλάσμα. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου το κλασματικό μέρος του εκπεστέου ποσού είναι μεγαλύτερο από το κλασματικό μέρος του εκπεστέου ποσού. Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να πάρετε μια μονάδα από το ακέραιο τμήμα του μειωμένου, να το χωρίσετε σε εκείνα τα κλάσματα στα οποία εκφράζεται το κλασματικό μέρος και να προσθέσετε στο κλασματικό τμήμα του μειωμένου. Και τότε η αφαίρεση θα εκτελεστεί με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα:
§ 89. Ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων.
Στη μελέτη του πολλαπλασιασμού των κλασμάτων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:
1. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
2. Εύρεση ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.
3. Πολλαπλασιασμός ενός ακέραιου από ένα κλάσμα.
4. Πολλαπλασιασμός κλάσματος ανά κλάσμα.
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών.
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος.
7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού. Εξετάστε τα διαδοχικά.
1. Πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ακέραιο έχει την ίδια έννοια με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ακέραιο αριθμό. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος (πολλαπλασιαστικού) με έναν ακέραιο (παράγοντας) σημαίνει να συμπληρωθεί το άθροισμα των πανομοιότυπων όρων στους οποίους κάθε όρος είναι ίσος με τον πολλαπλασιασμό και ο αριθμός των όρων είναι ίσος με τον πολλαπλασιαστή.
Έτσι, αν χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε 1/9 με 7, τότε αυτό μπορεί να γίνει όπως παρακάτω:
Πήραμε εύκολα το αποτέλεσμα, καθώς η δράση μειώθηκε στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Επομένως
Από την εξέταση αυτής της ενέργειας προκύπτει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με έναν ακέραιο είναι ισοδύναμο με την αύξηση αυτού του κλάσματος όσες περισσότερες μονάδες περιέχονται σε ολόκληρο τον αριθμό. Και επειδή η αύξηση του κλάσματος επιτυγχάνεται είτε με την αύξηση του αριθμητή του
ή μειώνοντας τον παρονομαστή του 
, τότε μπορούμε είτε να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με ακέραιο, είτε να διαιρέσουμε τον παρονομαστή σε αυτό, αν είναι δυνατή η διαίρεση αυτή.
Από εδώ έχουμε τον κανόνα:
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν ακέραιο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με αυτόν τον ακέραιο και να αφήσετε τον ίδιο παρονομαστή ή, αν είναι δυνατόν, να διαιρέσετε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον αριθμητή αμετάβλητο.
Όταν πολλαπλασιάζονται, είναι δυνατές μειώσεις, για παράδειγμα:
2. Εύρεση ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού.Υπάρχουν πολλά προβλήματα στην επίλυση των οποίων πρέπει να βρούμε ή να υπολογίσουμε μέρος ενός δεδομένου αριθμού. Η διαφορά μεταξύ αυτών των καθηκόντων και των άλλων είναι ότι δίνουν τον αριθμό οποιωνδήποτε αντικειμένων ή μονάδων μέτρησης και πρέπει να βρείτε ένα μέρος αυτού του αριθμού, ο οποίος επίσης υποδεικνύεται εδώ με ένα ορισμένο κλάσμα. Για να διευκολύνουμε την κατανόηση, θα δώσουμε πρώτα παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και στη συνέχεια θα εισαγάγουμε μια μέθοδο για την επίλυσή τους.
Εργασία 1Είχα 60 ρούβλια. 1/3 αυτού του ποσού που δαπάνησα για την αγορά βιβλίων. Πόσο κοστίζει το βιβλίο;
Εργασία 2 Το τρένο πρέπει να καλύπτει απόσταση 300 km μεταξύ των πόλεων Α και Β. Έχει ήδη καλύψει τα 2/3 αυτής της απόστασης. Πόσα χιλιόμετρα είναι αυτό;
Εργασία 3.Υπάρχουν 400 σπίτια στο χωριό, εκ των οποίων τα 3/4 είναι σπίτια από τούβλα, τα υπόλοιπα είναι ξύλινα. Πόσα σπίτια υπάρχουν εδώ;
Εδώ είναι μερικές από τις πολλές προκλήσεις που πρέπει να αντιμετωπίσουμε για να βρούμε το τμήμα ενός δεδομένου αριθμού. Ονομάζονται συνήθως καθήκοντα για την εύρεση κλασμάτων ενός δεδομένου αριθμού.
Λύση στο πρόβλημα 1. Από 60 rub. Χρησιμοποίησα βιβλία 1/3. Έτσι, για να βρείτε το κόστος των βιβλίων, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό 60 κατά 3:
Λύση στο πρόβλημα 2.Η έννοια του έργου είναι ότι πρέπει να βρείτε τα 2/3 των 300 χλμ. Αρχικά υπολογίζουμε το 1/3 των 300. αυτό επιτυγχάνεται διαιρώντας τα 300 km με 3:
300: 3 \u003d 100 (αυτό είναι το 1/3 των 300).
Για να βρείτε τα δύο τρίτα των 300, θα πρέπει να διπλασιάσετε το προκύπτον πηλίκο, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε κατά 2:
100 x 2 \u003d 200 (αυτό είναι 2/3 των 300).
Λύση στο πρόβλημα 3.Εδώ πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των σπιτιών από τούβλα, τα οποία είναι 3/4 από τα 400. Αρχικά βρίσκουμε το 1/4 των 400,
400: 4 \u003d 100 (αυτό είναι το 1/4 των 400).
Για να υπολογίσετε τα τρία τέταρτα των 400, το πηλίκο που προκύπτει πρέπει να τριπλασιαστεί, δηλ. Πολλαπλασιασμένο επί 3:
100 x 3 \u003d 300 (αυτό είναι 3/4 των 400).
Με βάση τη λύση αυτών των προβλημάτων, μπορούμε να αντλήσουμε τον ακόλουθο κανόνα:
Για να βρείτε το κλάσμα ενός δεδομένου αριθμού, πρέπει να διαιρέσετε αυτόν τον αριθμό από τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε τον προκύπτον πηλίκο με τον αριθμητή του.
3. Πολλαπλασιασμός ενός ακέραιου από ένα κλάσμα.
Νωρίτερα (§ 26) διαπιστώθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός των ακέραιων αριθμών πρέπει να νοηθεί ως η προσθήκη όμοιων όρων (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Στην παράγραφο αυτή (παράγραφος 1), διαπιστώθηκε ότι για να πολλαπλασιαστεί ένα κλάσμα με ακέραιο σημαίνει να βρεθεί το άθροισμα όμοιων όρων ίσων με αυτό το κλάσμα.
Και στις δύο περιπτώσεις, ο πολλαπλασιασμός συνίστατο στο να βρεθεί το άθροισμα των πανομοιότυπων όρων.
Τώρα προχωράμε στον πολλαπλασιασμό του ακέραιου αριθμού κατά ένα κλάσμα. Εδώ θα συναντήσουμε, για παράδειγμα, τον πολλαπλασιασμό: 9 2/3. Είναι προφανές ότι ο προηγούμενος ορισμός του πολλαπλασιασμού δεν αρμόζει στην περίπτωση αυτή. Αυτό είναι προφανές από το γεγονός ότι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε έναν τέτοιο πολλαπλασιασμό προσθέτοντας ίσους αριθμούς.
Ως εκ τούτου, θα πρέπει να δώσουμε έναν νέο ορισμό του πολλαπλασιασμού, δηλαδή, να απαντήσουμε στο ερώτημα τι πρέπει να κατανοηθεί με πολλαπλασιασμό από ένα κλάσμα, πώς πρέπει να γίνει κατανοητή αυτή η δράση.
Η έννοια του πολλαπλασιασμού ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα προσδιορίζεται από τον ακόλουθο ορισμό: να πολλαπλασιάσουμε έναν ακέραιο (πολλαπλασιασμό) με ένα κλάσμα (παράγοντας) σημαίνει να βρούμε αυτό το κλάσμα του πολλαπλασιασμού.
Δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός των 9 με 2/3 σημαίνει εύρεση 2/3 των εννέα μονάδων. Η προηγούμενη παράγραφος επιλύει τέτοια προβλήματα. Ως εκ τούτου, είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι θα καταλήξουμε με 6.
Τώρα όμως τίθεται ένα ενδιαφέρον και σημαντικό ερώτημα: γιατί τέτοιες φαινομενικά διαφορετικές ενέργειες, όπως η εξεύρεση του αθροίσματος ίσων αριθμών και η εύρεση του κλάσματος ενός αριθμού, ονομάζονται την ίδια λέξη "πολλαπλασιασμός" στην αριθμητική;
Αυτό συμβαίνει επειδή η προηγούμενη ενέργεια (επαναλαμβάνοντας τον αριθμό με τον όρο αρκετές φορές) και η νέα ενέργεια (βρίσκοντας ένα κλάσμα του αριθμού) δίνουν μια απάντηση σε ομογενείς ερωτήσεις. Συνεπώς, προχωρούμε από τις σκέψεις ότι επιλύονται ομογενή ερωτήματα ή καθήκοντα με την ίδια ενέργεια.
Για να το καταλάβετε, εξετάστε το ακόλουθο έργο: "Το 1 μ. Πανί κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίζουν 4 μέτρα τέτοιου είδους πανί; "
Το πρόβλημα αυτό επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρουβλών (50) με τον αριθμό των μετρητών (4), δηλ. 50 χ 4 \u003d 200 (ρούβλια).
Ας πάρουμε το ίδιο έργο, αλλά το ποσό του υφάσματος σε αυτό θα εκφραστεί ως κλασματικός αριθμός: "1 μέτρο πανί κοστίζει 50 ρούβλια. Πόσο θα κοστίσει τα 3/4 μ. Αυτού του υφάσματος; "
Το πρόβλημα αυτό πρέπει επίσης να λυθεί πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των ρουβλίων (50) με τον αριθμό των μετρητών (3/4).
Μπορείτε, και πολλές φορές, χωρίς να αλλάξετε την έννοια της εργασίας, αλλάξτε τους αριθμούς σε αυτήν, για παράδειγμα, πάρτε 9/10 m ή 2 3/10 m, κλπ.
Δεδομένου ότι οι εργασίες αυτές έχουν το ίδιο περιεχόμενο και διαφέρουν μόνο στους αριθμούς, καλούμε τις ενέργειες που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή τους την ίδια λέξη - πολλαπλασιασμό.
Πώς είναι ο πολλαπλασιασμός ενός ακέραιου από ένα κλάσμα;
Πάρτε τους αριθμούς που εμφανίστηκαν στην τελευταία εργασία:
Εξ ορισμού, πρέπει να βρούμε 3/4 από τα 50. Πρώτα βρεθεί το 1/4 των 50 και στη συνέχεια 3/4.
Το 1/4 του αριθμού 50 είναι 50/4.
3/4 του αριθμού 50 συνθέτουν.
Συνεπώς.
Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα: 12 5/8 \u003d?
Το 1/8 του αριθμού 12 είναι 12/8,
5/8 του αριθμού 12 συνθέτουν.
Επομένως
Από εδώ έχουμε τον κανόνα:
Για να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο με ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε έναν ακέραιο αριθμό με τον αριθμητή ενός κλάσματος και να κάνετε αυτό το προϊόν έναν αριθμητή και να υπογράψετε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος από τον παρονομαστή.
Γράφουμε αυτόν τον κανόνα με τα γράμματα:
Για να γίνει αυτός ο κανόνας πλήρως κατανοητός, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Συνεπώς, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με ένα πηλίκο, ο οποίος καθορίστηκε στην § 38
Πρέπει να θυμάστε ότι πριν κάνετε τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να κάνετε (αν είναι δυνατόν) μειώσειςγια παράδειγμα:
4. Πολλαπλασιασμός κλάσματος ανά κλάσμα. Ο πολλαπλασιασμός ενός κλάσματος με ένα κλάσμα έχει την ίδια έννοια με τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού με ένα κλάσμα, δηλαδή όταν πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να βρείτε ένα κλάσμα στον παράγοντα από το πρώτο κλάσμα (πολλαπλασιαστή).
Συγκεκριμένα, για να πολλαπλασιάσετε τα 3/4 κατά 1/2 (το ήμισυ) - αυτό σημαίνει εύρεση μισού των 3/4.
Πώς είναι ο πολλαπλασιασμός του κλάσματος ανά κλάσμα;
Πάρτε ένα παράδειγμα: 3/4 φορές 5/7. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε 5/7 από 3/4. Αρχικά βρίσκουμε 1/7 των 3/4, και στη συνέχεια 5/7
Το 1/7 του αριθμού 3/4 εκφράζεται ως εξής:
5/7 οι αριθμοί 3/4 θα εκφράζονται ως εξής:
Με αυτόν τον τρόπο
Ένα άλλο παράδειγμα: 5/8 φορές 4/9.
Το 1/9 του αριθμού 5/8 είναι,
4/9 αριθμοί 5/8 αποτελούν.
Με αυτόν τον τρόπο 
Από την εξέταση αυτών των παραδειγμάτων, μπορεί να συναχθεί ο ακόλουθος κανόνας:
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα κατά κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή και να κάνετε το πρώτο προϊόν τον αριθμητή και το δεύτερο τον παρονομαστή του προϊόντος.
Αυτός ο κανόνας σε γενικές γραμμές μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Κατά τον πολλαπλασιασμό, είναι απαραίτητο να γίνουν (ει δυνατόν) μειώσεις. Εξετάστε τα ακόλουθα παραδείγματα:
5. Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών. Δεδομένου ότι οι μικτοί αριθμοί μπορούν εύκολα να αντικατασταθούν από λανθασμένα κλάσματα, η κατάσταση αυτή χρησιμοποιείται συνήθως όταν πολλαπλασιάζονται οι μικτοί αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι σε περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιαστής ή ο παράγοντας ή και οι δύο παράγοντες εκφράζονται με μικτούς αριθμούς, τότε αντικαθίστανται με λανθασμένα κλάσματα. Πολλαπλασιάστε, για παράδειγμα, μικτούς αριθμούς: 2 1/2 και 3 1/5. Μετατρέπουμε το καθένα σε λάθος κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα ληφθέντα κλάσματα σύμφωνα με τον κανόνα πολλαπλασιασμού του κλάσματος με το κλάσμα:
Ο κανόνας. Για να πολλαπλασιάσετε τους μικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τις μετατρέψετε σε λάθος κλάσμα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα πολλαπλασιασμού του κλάσματος με το κλάσμα.
Σημείωση Εάν ένας από τους παράγοντες είναι ένας ακέραιος, τότε ο πολλαπλασιασμός μπορεί να γίνει με βάση τον νόμο διανομής ως εξής:
6. Η έννοια του ενδιαφέροντος. Κατά την επίλυση προβλημάτων και την εκτέλεση διαφόρων πρακτικών υπολογισμών, χρησιμοποιούμε όλα τα κλάσματα. Αλλά πρέπει να έχουμε κατά νου ότι πολλές ποσότητες παραδέχονται όχι μόνο οποιεσδήποτε, αλλά φυσικές μονάδες γι 'αυτούς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε ένα εκατοστό (1/100) από το ρούβλι, θα είναι μια δεκάρα, δύο εκατοστά είναι 2 καπίκια, τρία εκατοστά είναι 3 καπίκια. Μπορείτε να πάρετε το 1/10 του ρουβλίου, θα είναι "10 καπίκια, ή ένα δεκάρα. Μπορείτε να πάρετε ένα τέταρτο ρούβλι, δηλαδή 25 καπίκια, μισό ρούβλι, δηλαδή 50 καπίκια (50 καπίκια). , 2/2 ρούβλια επειδή το ρούβλι δεν χωρίζεται σε έβδομη μετοχές.
Μία μονάδα βάρους, δηλαδή ένα κιλό, επιτρέπει κατά κύριο λόγο δεκαδικές μονάδες, για παράδειγμα 1/10 kg ή 100 g. Και τέτοια κλάσματα ενός κιλού ως 1/6, 1/11, 1/13 είναι ασυνήθιστα.
Γενικά, τα (μετρικά) μέτρα μας είναι δεκαδικά και επιτρέπουν δεκαδικές διαιρέσεις.
Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι στις πιο ποικίλες περιπτώσεις είναι εξαιρετικά χρήσιμο και βολικό να χρησιμοποιείται ο ίδιος (μονότονος) τρόπος διαιρέσεως των τιμών. Χρόνια εμπειρίας έχουν δείξει ότι η διαίρεση "εκατό" είναι μια τόσο αποδεδειγμένη διαίρεση. Εξετάστε μερικά παραδείγματα σχετικά με τους πιο ποικίλους τομείς της ανθρώπινης πρακτικής.
1. Η τιμή των βιβλίων μειώθηκε κατά 12/100 της προηγούμενης τιμής.
Ένα παράδειγμα. Η προηγούμενη τιμή του βιβλίου είναι 10 ρούβλια. Έπεσε κατά 1 ρούβλι. 20 καπίκια
2. Οι τράπεζες αποταμίευσης καταβάλλουν κατά τη διάρκεια του έτους στους επενδυτές 2/100 του ποσού που τίθεται σε αποταμίευση.
Ένα παράδειγμα. Στο ταμείο έβαλε 500 ρούβλια., Τα έσοδα από αυτό το ποσό για το έτος είναι 10 ρούβλια.
3. Ο αριθμός των αποφοίτων ενός σχολείου ήταν 5/100 του συνολικού αριθμού των μαθητών.
PRI εμένα R. Στο σχολείο φοίθηκαν μόνο 1.200 μαθητές, 60 από τους οποίους αποφοίτησαν από το σχολείο.
Το εκατοστό του αριθμού ονομάζεται ποσοστό.
Η λέξη "ποσοστό" δανείζεται από τη λατινική γλώσσα και η ρίζα της "εκατό" σημαίνει εκατό. Μαζί με την πρόθεση (procentum), αυτή η λέξη σημαίνει "για εκατό". Η έννοια μιας τέτοιας έκφρασης προκύπτει από το γεγονός ότι αρχικά στην αρχαία Ρώμη τα χρήματα ήταν το ποσοστό που ο οφειλέτης κατέβαλε στον δανειστή "για κάθε εκατό". Η λέξη "εκατό" ακούγεται σε τέτοιες γνωστές λέξεις: centner (εκατό κιλά), εκατοστό (λέγεται εκατοστό).
Για παράδειγμα, αντί να λέμε ότι το εργοστάσιο τον τελευταίο μήνα έδωσε ένα ελάττωμα 1/100 από όλα τα προϊόντα του, θα το πούμε: το εργοστάσιο τον περασμένο μήνα έδωσε ένα τοις εκατό του ελαττώματος. Αντί να λέει: το εργοστάσιο έχει αναπτύξει προϊόντα 4/100 περισσότερο από το καθιερωμένο σχέδιο, θα πούμε: το εργοστάσιο ξεπέρασε το σχέδιο κατά 4%.
Τα παραπάνω παραδείγματα μπορούν να δηλωθούν διαφορετικά:
1. Η τιμή των βιβλίων έπεσε 12 τοις εκατό της προηγούμενης τιμής.
2. Οι τράπεζες αποταμίευσης καταβάλλουν στους καταθέτες για το έτος 2 τοις εκατό του ποσού που τίθεται στην αποταμίευση.
3. Ο αριθμός των αποφοίτων ενός σχολείου ήταν 5% όλων των μαθητών στο σχολείο.
Για να μειώσετε το γράμμα, είναι συνηθισμένο να γράψετε το εικονίδιο% αντί της λέξης "percentage".
Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι στους υπολογισμούς το εικονίδιο% συνήθως δεν είναι γραμμένο, μπορεί να γραφτεί στην κατάσταση του προβλήματος και στο τελικό αποτέλεσμα. Όταν εκτελείτε τους υπολογισμούς, πρέπει να γράψετε ένα κλάσμα με έναν παρονομαστή 100 αντί για έναν ακέραιο αριθμό με αυτό το εικονίδιο.
Πρέπει να μπορείτε να αντικαταστήσετε τον ακέραιο αριθμό με το εικονίδιο με ένα κλάσμα με τον παρονομαστή των 100:
Αντίστροφα, πρέπει να συνηθίσετε να γράφετε έναν ακέραιο αριθμό με το εικονίδιο που υποδεικνύεται αντί για ένα κλάσμα με έναν παρονομαστή 100:
7. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού.
Εργασία 1 Το σχολείο έλαβε 200 κυβικά μέτρα. m καυσόξυλα, με ξύλα σημύδας που αντιπροσωπεύουν το 30%. Πόσα ξύλο σημύδας ήταν εκεί;
Το νόημα αυτού του έργου είναι ότι τα ξύλα σημύδας αποτελούσαν μέρος μόνο του καυσόξυλου που παραδόθηκε στο σχολείο και αυτό το τμήμα εκφράζεται από το κλάσμα 30/100. Έτσι, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το να βρούμε ένα κλάσμα ενός αριθμού. Για να το λύσουμε, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα 200 κατά 30/100 (το πρόβλημα της εύρεσης ενός κλάσματος ενός αριθμού επιλύεται πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό κατά ένα κλάσμα.).
Έτσι το 30% των 200 ισούται με 60.
Το κλάσμα 30/100 που αντιμετωπίζεται σε αυτό το πρόβλημα μπορεί να μειωθεί κατά 10. Αυτή η μείωση θα μπορούσε να είχε γίνει από την αρχή. η λύση στο πρόβλημα από αυτό δεν θα αλλάξει.
Εργασία 2 Υπήρχαν 300 παιδιά διαφόρων ηλικιών στο στρατόπεδο. Τα παιδιά ηλικίας 11 ετών αντιπροσώπευαν το 21%, τα παιδιά ηλικίας 12 ετών αντιπροσώπευαν το 61% και, τέλος, τα παιδιά ηλικίας 13 ετών ήταν 18%. Πόσα παιδιά όλων των ηλικιών ήταν στο στρατόπεδο;
Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να εκτελεστούν τρεις υπολογισμοί, δηλ. Να βρεθούν διαδοχικά ο αριθμός των παιδιών 11 ετών, τότε 12 ετών και τέλος 13 ετών.
Έτσι, εδώ θα είναι απαραίτητο να βρείτε το κλάσμα του αριθμού τρεις φορές. Ας το κάνουμε:
1) Πόσα παιδιά ήταν 11 ετών;
2) Πόσα παιδιά ήταν 12 ετών;
3) Πόσα παιδιά ήταν 13 ετών;
Μετά την επίλυση του προβλήματος, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρέθηκαν. το ποσό τους θα πρέπει να είναι 300:
63 + 183 + 54 = 300
Θα πρέπει επίσης να δώσετε προσοχή στο γεγονός ότι το ποσό ενδιαφέροντος που δίνεται στην κατάσταση του προβλήματος είναι 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Αυτό δείχνει ότι ο συνολικός αριθμός των παιδιών στο στρατόπεδο λήφθηκε ως 100%.
3 ένα dacha 3.Ο εργαζόμενος έλαβε 1 200 ρούβλια το μήνα. Από αυτά, το 65% δαπάνησε για φαγητό, 6% για διαμέρισμα και θέρμανση, 4% για φυσικό αέριο, ηλεκτρισμό και ραδιόφωνο, 10% για πολιτιστικές ανάγκες και 15% για εξοικονόμηση. Πόσα χρήματα δαπανήθηκαν για τις ανάγκες που αναφέρθηκαν στο έργο;
Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, θα πρέπει να βρείτε το κλάσμα του αριθμού 1 200 5 φορές.
1) Πόσα χρήματα δαπανώνται για τα τρόφιμα; Το πρόβλημα λέει ότι το έξοδο αυτό είναι το 65% όλων των κερδών, δηλαδή 65/100 του αριθμού 1.200. Ας κάνουμε τον υπολογισμό:
2) Πόσα χρήματα καταβλήθηκαν για το διαμέρισμα με θέρμανση; Υποστηρίζοντας όπως και το προηγούμενο, φτάνουμε στον ακόλουθο υπολογισμό:
3) Πόσα χρήματα πληρώσατε για το φυσικό αέριο, την ηλεκτρική ενέργεια και το ραδιόφωνο;
4) Πόσα χρήματα δαπανώνται για πολιτιστικές ανάγκες;
5) Πόσα χρήματα έσωσε ο εργαζόμενος;
Για επαλήθευση, είναι χρήσιμο να προσθέσετε τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτές τις 5 ερωτήσεις. Το ποσό θα πρέπει να είναι 1.200 ρούβλια. Όλα τα κέρδη λαμβάνονται ως 100%, τα οποία είναι εύκολο να επαληθευτούν προσθέτοντας τα ποσοστά που αναφέρονται στη δήλωση προβλήματος.
Έχουμε λύσει τρία προβλήματα. Παρά το γεγονός ότι τα καθήκοντα αυτά αφορούσαν διάφορα πράγματα (παράδοση καυσόξυλων για το σχολείο, αριθμός παιδιών διαφόρων ηλικιών, δαπάνες του εργαζομένου), επιλύθηκαν με τον ίδιο τρόπο. Αυτό συνέβη διότι σε όλες τις εργασίες ήταν απαραίτητο να βρεθεί μερικές εκατοστιαίες μονάδες από τους αριθμούς.
§ 90. Κατανομή κλάσεων.
Όταν μελετάμε τη διαίρεση των κλάσεων, θα εξετάσουμε τα ακόλουθα ερωτήματα:
1. Κατανομή ακέραιου αριθμού.
2. Κατανομή κλάσματος με ακέραιο αριθμό
3. Κατανομή ενός ακέραιου αριθμού από ένα κλάσμα.
4. Κατανομή ενός κλάσματος σε κλάσμα.
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
6. Βρείτε έναν αριθμό από ένα δεδομένο κλάσμα του.
7. Βρείτε έναν αριθμό από το ποσοστό του.
Εξετάστε τα διαδοχικά.
1. Κατανομή ακέραιου αριθμού.
Όπως υποδεικνύεται στο τμήμα ακέραιας, η διαίρεση είναι μια ενέργεια που συνίσταται στο ότι ένας άλλος πολλαπλασιαστής αναζητείται για αυτό το προϊόν δύο παραγόντων (διαιρούμενος) και ένας από αυτούς τους παράγοντες (διαιρέτης).
Θεωρήσαμε τη διαίρεση ενός ακέραιου αριθμού με ακέραιο αριθμό στην κατανομή των ακεραίων. Συναντήσαμε δύο περιπτώσεις διαιρέσεως: διαίρεση χωρίς υπόλοιπο ή "εντελώς" (150: 10 \u003d 15) και διαίρεση με υπόλοιπο (100: 9 \u003d 11 και 1 στο υπόλοιπο). Μπορούμε συνεπώς να πούμε ότι στον τομέα των ακεραίων η ακριβής διαίρεση δεν είναι πάντοτε δυνατή, επειδή το μέρισμα δεν είναι πάντα το προϊόν του διαιρέτη από τον ακέραιο αριθμό. Αφού εισαγάγαμε τον πολλαπλασιασμό με ένα κλάσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε πιθανή περίπτωση διαιρέσεως ακέραιων (αποκλείεται μόνο διαίρεση με μηδέν).
Για παράδειγμα, διαιρώντας 7 με 12 σημαίνει εύρεση ενός αριθμού του οποίου το προϊόν με 12 θα ήταν 7. Αυτός ο αριθμός είναι το κλάσμα 7/12 επειδή 7/12 12 \u003d 7. Ένα άλλο παράδειγμα: 14: 25 \u003d 14/25, επειδή 14/25 25 \u003d 14.
Έτσι, για να διαιρέσετε έναν ακέραιο με έναν ακέραιο, πρέπει να κάνετε ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το μέρισμα, και ο παρονομαστής είναι ο διαιρέτης.
2. Κατανομή κλάσματος με ακέραιο αριθμό.
Διαχωρίστε το κλάσμα 6/7 με 3. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό της διαίρεσης, έχουμε εδώ το προϊόν (6/7) και έναν από τους παράγοντες (3). πρέπει να βρεθεί ένας δεύτερος παράγοντας έτσι ώστε ο πολλαπλασιασμός κατά 3 να δώσει το δεδομένο προϊόν 6/7. Προφανώς, θα πρέπει να είναι τρεις φορές μικρότερη από αυτή την εργασία. Έτσι, το καθήκον που έχουμε θέσει ήταν να μειώσουμε το κλάσμα 6/7 κατά 3 φορές.
Γνωρίζουμε ήδη ότι ένα κλάσμα μπορεί να μειωθεί είτε μειώνοντας τον αριθμητή του είτε αυξάνοντας τον παρονομαστή του. Ως εκ τούτου, μπορείτε να γράψετε:
Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμητής 6 διαιρείται με 3, οπότε ο αριθμητής πρέπει να μειωθεί κατά 3 φορές.
Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα: 5/8 διαιρούμενο με 2. Εδώ ο αριθμητής 5 δεν διαιρείται με 2, πράγμα που σημαίνει ότι ο παρονομαστής θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό:
Βάσει αυτού, μπορείτε να δηλώσετε τον κανόνα: για να διαιρέσετε ένα κλάσμα σε έναν ακέραιο αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή ενός κλάσματος σε αυτόν τον ακέραιο αριθμό (ει δυνατόν) αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή ή πολλαπλασιάζοντας τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό, αφήνοντας τον ίδιο αριθμητή.
3. Κατανομή ενός ακέραιου αριθμού από ένα κλάσμα.
Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε 5 με 1/2, δηλαδή να βρείτε έναν αριθμό που, μετά από τον πολλαπλασιασμό κατά 1/2, δίνει το προϊόν του 5. Προφανώς, αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 5, δεδομένου ότι το 1/2 είναι το σωστό κλάσμα και όταν πολλαπλασιάζεται ο αριθμός από το δεξιό κλάσμα, το προϊόν πρέπει να είναι μικρότερο από το πολλαπλασιαστικό. Για να γίνει αυτό πιο σαφές, γράφουμε τις ενέργειές μας ως εξής: 5: 1/2 \u003d x έτσι x 1/2 \u003d 5.
Πρέπει να βρούμε έναν τέτοιο αριθμό x η οποία, αν πολλαπλασιαστεί με το 1/2, θα δώσει 5. Δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός ενός συγκεκριμένου αριθμού κατά 1/2 σημαίνει να βρεθεί το 1/2 αυτού του αριθμού, συνεπώς, το 1/2 ενός άγνωστου αριθμού x ίσο με 5, και ολόκληρο τον αριθμό x διπλάσια, δηλ. 5 2 \u003d 10.
Έτσι 5: 1/2 \u003d 5 2 \u003d 10
Ελέγξτε: 
Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε 6 κατά 2/3. Πρώτον, ας προσπαθήσουμε να βρούμε το επιθυμητό αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το σχέδιο (Εικ. 19).
Εικ. 19
Σχεδιάζουμε το τμήμα ΑΒ ίσο με 6 μονάδες και διαιρούμε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Σε κάθε μονάδα, τα τρία τρίτα (3/3) σε ολόκληρο το τμήμα ΑΒ είναι 6 φορές μεγαλύτερα, δηλ. ε. 18/3. Συνδέστε με τη βοήθεια των μικρών βραχιόνων 18 τα λαμβανόμενα τμήματα του 2. πάρτε μόνο 9 τμήματα. Έτσι το κλάσμα 2/3 περιέχεται στις μονάδες b 9 φορές, ή, με άλλα λόγια, το κλάσμα 2/3 είναι 9 φορές μικρότερο από 6 ακέραιες μονάδες. Επομένως
Πώς να αποκτήσετε αυτό το αποτέλεσμα χωρίς σχεδίαση χρησιμοποιώντας μόνο τους υπολογισμούς; Θα υποστηρίξουμε αυτόν τον τρόπο: 6 πρέπει να διαιρεθεί κατά 2/3, δηλαδή, πρέπει να απαντηθεί στην ερώτηση, πόσες φορές περιέχονται τα 2/3 στα 6. Ανακαλύπτουμε πρώτα: πόσες φορές το 1/3 περιέχεται στο 6; Σε ολόκληρη τη μονάδα - 3/3 και σε 6 μονάδες - 6 φορές περισσότερο, δηλ. 18/3. για να βρούμε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε 6 με 3. Συνεπώς, το 1/3 περιέχεται στις μονάδες b 18 φορές και τα 2/3 περιέχονται στο b όχι 18 φορές, αλλά το μισό, δηλαδή το 18: 2 \u003d 9. Επομένως , όταν διαιρούσαμε 6 κατά 2/3, πραγματοποιήσαμε τις ακόλουθες ενέργειες:
Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα της διαίρεσης ενός ακέραιου από ένα κλάσμα. Για να διαιρέσουμε έναν ακέραιο σε ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον ακέραιο με τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος και, κάνοντας αυτό το προϊόν έναν αριθμητή, το διαιρέστε με τον αριθμητή αυτού του κλάσματος.
Γράφουμε τον κανόνα με τα γράμματα:
Για να γίνει αυτός ο κανόνας πλήρως κατανοητός, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως πηλίκο. Συνεπώς, είναι χρήσιμο να συγκρίνουμε τον κανόνα που βρέθηκε με τον κανόνα διαίρεσης του αριθμού κατά πηλίκο, ο οποίος εκτέθηκε στην § 38. Σημειώστε ότι ο ίδιος τύπος ελήφθη εκεί.
Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές συντομογραφίες, για παράδειγμα:
4. Κατανομή ενός κλάσματος σε κλάσμα.
Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε 3/4 με 3/8. Τι σημαίνει ο αριθμός που προκύπτει από τη διαίρεση; Θα απαντήσει στο ερώτημα πόσες φορές το κλάσμα 3/8 περιέχεται στο κλάσμα 3/4. Για να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα, θα σχεδιάσουμε ένα σχέδιο (Εικ. 20).
Πάρτε το τμήμα AB, το παίρνετε ως μονάδα, διαιρείτε το σε 4 ίσα μέρη και σημειώστε 3 τέτοια μέρη. Το τμήμα AC θα είναι ίσο με τα 3/4 του τμήματος ΑΒ. Τώρα διαιρούμε κάθε ένα από τα τέσσερα αρχικά τμήματα στο μισό, τότε το τμήμα ΑΒ χωρίζεται σε 8 ίσα μέρη και κάθε ένα τέτοιο τμήμα θα είναι ίσο με το 1/8 του τμήματος ΑΒ. Συνδέστε με τόξα 3 τέτοια τμήματα, τότε κάθε ένα από τα τμήματα AD και DC θα είναι ίσο με 3/8 του τμήματος AB. Το σχέδιο δείχνει ότι το τμήμα ίσο με 3/8 περιέχεται στο τμήμα ίσο με 3/4 ακριβώς 2 φορές. Ως εκ τούτου, το αποτέλεσμα της διαίρεσης μπορεί να γραφτεί ως εξής:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να διαιρέσετε 15/16 με 3/32:
Μπορούμε να αιτιολογούμε αυτόν τον τρόπο: πρέπει να βρούμε έναν αριθμό ο οποίος, μετά τον πολλαπλασιασμό κατά 3/32, θα παράγει ένα προϊόν ίσο με 15/16. Γράφουμε τους υπολογισμούς ως εξής:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 άγνωστος αριθμός x συνθέτουν 15/16
1/32 άγνωστος αριθμός x δημιουργεί
Αριθμούς 32/32 x συνθέτουν.
Επομένως
Έτσι, για να διαιρέσουμε ένα κλάσμα σε κλάσμα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου και του πρώτου προϊόντος με τον αριθμητή και ο δεύτερος με τον παρονομαστή.
Γράφουμε τον κανόνα με τα γράμματα:
Κατά τη διαίρεση, είναι δυνατές συντομογραφίες, για παράδειγμα:
5. Διαίρεση μικτών αριθμών.
Όταν διαιρούμε μικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε λανθασμένα κλάσματα και στη συνέχεια τα κλάσματα που προκύπτουν πρέπει να χωριστούν σύμφωνα με τους κανόνες για τη διαίρεση κλασματικών αριθμών. Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Μετατρέψτε τους μικτούς αριθμούς σε λάθος κλάσματα:
Τώρα διαιρέστε:
Έτσι, για να διαχωρίσετε τους μικτούς αριθμούς, πρέπει να τα μετατρέψετε σε λάθος κλάσμα και στη συνέχεια να χωρίσετε σύμφωνα με τον κανόνα υποδιαίρεσης κλάσματος.
6. Βρείτε έναν αριθμό από ένα δεδομένο κλάσμα του.
Μεταξύ των διαφόρων προβλημάτων στα κλάσματα, υπάρχουν μερικές φορές εκείνα στα οποία δίνεται η τιμή ενός κλάσματος άγνωστου αριθμού και απαιτείται να βρεθεί αυτός ο αριθμός. Αυτός ο τύπος προβλήματος θα είναι αντίστροφος στα προβλήματα εύρεσης ενός κλάσματος ενός δεδομένου αριθμού. ένας αριθμός δόθηκε εκεί και έπρεπε να βρεθεί κάποιο κλάσμα αυτού του αριθμού, ένα κλάσμα του αριθμού δίνεται εδώ και είναι απαραίτητο να βρεθεί αυτός ο αριθμός ο ίδιος. Αυτή η ιδέα θα γίνει ακόμα πιο ξεκάθαρη αν στραφούμε προς τη λύση αυτού του τύπου προβλήματος.
Εργασία 1Την πρώτη μέρα, τα τζάμια τζάμια 50 παράθυρα, που είναι το 1/3 όλων των παραθύρων του κτιρίου. Πόσα παράθυρα υπάρχουν σε αυτό το σπίτι;
Λύση. Η εργασία λέει ότι 50 τζάμια αποτελούν το 1/3 του συνόλου των παραθύρων του σπιτιού, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχουν συνολικά 3 φορές περισσότερα παράθυρα, δηλ.
Το σπίτι είχε 150 παράθυρα.
Εργασία 2 Το κατάστημα πώλησε 1.500 κιλά αλεύρι, το οποίο είναι το 3/8 του συνολικού αποθέματος αλεύρου που διατίθεται στο κατάστημα. Ποια ήταν η αρχική προσφορά αλεύρου στο κατάστημα;
Λύση. Από τις συνθήκες της εργασίας προκύπτει ότι 1.500 kg αλεύρι που πωλούνται αποτελούν το 3/8 της συνολικής προσφοράς. αυτό σημαίνει ότι το 1/8 αυτού του αποθέματος θα είναι 3 φορές λιγότερο, δηλαδή, για να το υπολογίσετε, πρέπει να μειώσετε 1500 φορές κατά 3 φορές:
1.500: 3 \u003d 500 (αυτό είναι το 1/8 του αποθέματος).
Προφανώς, το σύνολο των αποθεμάτων θα είναι 8 φορές μεγαλύτερο. Επομένως
500 8 \u003d 4.000 (kg).
Η αρχική προμήθεια αλεύρου στο κατάστημα ήταν 4.000 κιλά.
Ο ακόλουθος κανόνας μπορεί να συναχθεί από την εξέταση αυτού του προβλήματος.
Για να βρούμε τον αριθμό με δεδομένη τιμή του κλάσματος του, αρκεί να διαιρέσουμε αυτή την τιμή με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του κλάσματος.
Λύσαμε δύο προβλήματα να βρούμε έναν αριθμό από ένα δεδομένο κλάσμα. Τέτοια προβλήματα, όπως φαίνεται ξεκάθαρα από την τελευταία, επιλύονται με δύο πράξεις: διαίρεση (όταν βρίσκουν ένα μέρος) και πολλαπλασιασμό (όταν βρίσκουν ολόκληρο τον αριθμό).
Ωστόσο, αφού μελετήσαμε τη διαίρεση των κλασμάτων, τα παραπάνω προβλήματα μπορούν να λυθούν σε ένα βήμα, δηλαδή: κατανομή ανά κλάσμα.
Για παράδειγμα, η τελευταία εργασία μπορεί να λυθεί σε μία ενέργεια όπως αυτή:
Στο μέλλον, θα λύσουμε το πρόβλημα της εύρεσης ενός αριθμού από το κλάσμα του σε μία δράση - διαίρεση.
7. Βρείτε έναν αριθμό από το ποσοστό του.
Σε αυτά τα καθήκοντα, θα πρέπει να βρείτε έναν αριθμό, γνωρίζοντας ένα μικρό ποσοστό αυτού του αριθμού.
Εργασία 1 Στις αρχές του τρέχοντος έτους, έλαβα στην τράπεζα αποταμιεύσεων 60 ρούβλια. έσοδα από το ποσό που έβαλα στην εξοικονόμηση πριν από ένα χρόνο. Πόσα χρήματα έβαλα σε μια τράπεζα ταμιευτηρίου; (Τα ταμειακά διαθέσιμα παρέχουν στους επενδυτές το 2% του εισοδήματος ανά έτος.)
Το νόημα του έργου είναι ότι ένα συγκεκριμένο ποσό μου τέθηκε από εμένα σε μια τράπεζα ταμιευτηρίου και έμεινα εκεί για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο, πήρα 60 ρούβλια από αυτήν. το οποίο είναι 2/100 από τα χρήματα που έβαλα. Πόσα χρήματα έβαλα;
Ως εκ τούτου, γνωρίζοντας το μέρος αυτών των χρημάτων που εκφράζεται με δύο τρόπους (σε ρούβλια και κλάσματα), πρέπει να βρούμε το σύνολο, μέχρι τώρα άγνωστο, ποσό. Αυτό είναι ένα συνηθισμένο έργο να βρούμε έναν αριθμό από ένα δεδομένο κλάσμα του. Οι ακόλουθες εργασίες επιλύονται από τη διαίρεση:
Αυτό σημαίνει ότι 3000 ρούβλια τέθηκαν στην τράπεζα αποταμιεύσεων.
Εργασία 2 Οι αλιείς σε δύο εβδομάδες εκπλήρωσαν το μηνιαίο σχέδιο κατά 64%, συγκομίζοντας 512 τόνους ψαριών. Ποιο ήταν το σχέδιό τους;
Από τους όρους της αποστολής είναι γνωστό ότι οι αλιείς έχουν εκπληρώσει μέρος του σχεδίου. Το μέρος αυτό ισούται με 512 τόνους, δηλαδή το 64% του σχεδίου. Πόσοι τόνοι ψαριών πρέπει να συλλέξετε σύμφωνα με το σχέδιο, δεν γνωρίζουμε. Η εύρεση αυτού του αριθμού θα είναι η λύση στο πρόβλημα.
Τα καθήκοντα αυτά επιλύονται διαιρώντας:
Έτσι, σύμφωνα με το σχέδιο, θα πρέπει να προετοιμαστούν 800 τόνοι ψαριών.
Εργασία 3.Το τρένο πήγε από τη Ρίγα στη Μόσχα. Όταν πέρασε το 276ο χιλιόμετρο, ένας από τους επιβάτες ζήτησε από τον αγωγό διέλευσης ποιο μέρος του τρόπου που είχαν περάσει ήδη. Σε αυτό, ο αγωγός απάντησε: "Έχουμε ήδη ταξιδέψει το 30% του συνόλου της διαδρομής." Ποια είναι η απόσταση από τη Ρίγα στη Μόσχα;
Από το πρόβλημα προκύπτει ότι το 30% της διαδρομής από τη Ρίγα στη Μόσχα είναι 276 χιλιόμετρα. Πρέπει να βρούμε όλη την απόσταση μεταξύ αυτών των πόλεων, δηλαδή να βρούμε το σύνολο σε αυτό το μέρος:
§ 91. Αμοιβαία αντίστροφοι αριθμοί. Αντικατάσταση διαίρεσης με πολλαπλασιασμό.
Πάρτε ένα κλάσμα των 2/3 και αναδιατάξτε τον αριθμητή στη θέση του παρονομαστή, παίρνουμε 3/2. Πήραμε το αντίστροφο των δοθέντων.
Για να πάρετε το αντίστροφο κλάσμα στο δεδομένο, πρέπει να τοποθετήσετε τον αριθμητή του στη θέση του παρονομαστή και ο παρονομαστής στη θέση του αριθμητή. Με αυτό τον τρόπο, μπορούμε να πάρουμε το αντίστροφο κλάσμα οποιουδήποτε κλάσματος. Για παράδειγμα:
3/4, αντίστροφο 4/3; 5/6, αντίστροφη 6/5
Δύο κλάσματα που έχουν την ιδιότητα ότι ο αριθμητής του πρώτου είναι ο παρονομαστής του δεύτερου και ο παρονομαστής του πρώτου είναι ο αριθμητής του δεύτερου, καλούνται αντιστρόφως.
Τώρα σκεφτείτε ποιο κλάσμα θα είναι το αντίστροφο του 1/2. Προφανώς, αυτό θα είναι 2/1, ή μόνο 2. Ψάχνουμε για το αντίστροφο κλάσμα σε αυτό, παίρνουμε έναν ακέραιο αριθμό. Και αυτή η περίπτωση δεν είναι απομονωμένη. αντίθετα, για όλα τα κλάσματα με αριθμητή 1 (ένα), οι ακέραιοι θα είναι το αντίστροφο, για παράδειγμα:
1/3, αντίστροφο 3, 1/5, αντίστροφη 5
Δεδομένου ότι στην αναζήτηση των αντίστροφων κλασμάτων συναντήσαμε ακέραιους αριθμούς, στο μέλλον δεν θα μιλήσουμε για αντίστροφα κλάσματα, αλλά για αντίστροφα αριθμούς.
Ας υπολογίσουμε πώς να γράψουμε την αμοιβαιότητα ενός ακέραιου αριθμού. Για κλάσματα, αυτό λύνεται απλά: πρέπει να τοποθετήσετε τον παρονομαστή στη θέση του αριθμητή. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να πάρετε τον αντίθετο αριθμό για έναν ακέραιο αριθμό, δεδομένου ότι οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να σημαίνει τον παρονομαστή 1. Επομένως, ο αριθμός αντίστροφος προς 7 θα είναι 1/7, επειδή 7 \u003d 7/1. για τον αριθμό 10, το αντίστροφο θα είναι 1/10, δεδομένου ότι 10 \u003d 10/1
Αυτή η σκέψη μπορεί να εκφραστεί διαφορετικά: το αντίστροφο ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνεται διαιρώντας τη μονάδα με ένα δεδομένο αριθμό. Αυτή η δήλωση ισχύει όχι μόνο για ακέραιους αριθμούς, αλλά και για κλάσματα. Στην πραγματικότητα, αν θέλετε να γράψετε τον αντίστροφο αριθμό του κλάσματος 5/9, τότε μπορούμε να πάρουμε 1 και να το διαιρέσουμε κατά 5/9, δηλ.
Τώρα υποδεικνύουμε ένα ιδιοκτησίας αμοιβαία αντίστροφα αριθμούς, οι οποίοι θα είναι χρήσιμοι για εμάς: το προϊόν των αμοιβαία αντίστροφων αριθμών είναι ίσο με ένα. Στην πραγματικότητα:
Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορούμε να βρούμε τους αντίστροφα αριθμούς με τον ακόλουθο τρόπο. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε το αντίθετο των 8.
Σημειώστε το με την επιστολή x τότε 8 x \u003d 1, από εδώ x \u003d 1/8. Βρείτε έναν άλλο αριθμό, το αντίστροφο του 7/12 σημειώνεται με το γράμμα x τότε 7/12 x \u003d 1, από εδώ x \u003d 1: 7/12 ή x = 12 / 7 .
Εισήγαμε εδώ την έννοια των αμοιβαία αντίστροφων αριθμών, προκειμένου να συμπληρώσουμε ελαφρώς τις πληροφορίες σχετικά με τη διαίρεση των κλασμάτων.
Όταν διαιρούμε τον αριθμό 6 κατά 3/5, εκτελούμε τις ακόλουθες ενέργειες:
Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην έκφραση και συγκρίνετε την με αυτή:
Εάν πάρουμε την έκφραση ξεχωριστά, χωρίς σύνδεση με την προηγούμενη, τότε δεν μπορούμε να λύσουμε το ερώτημα από πού προέρχεται: από τη διαίρεση 6 κατά 3/5 ή από τον πολλαπλασιασμό 6 κατά 5/3. Και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Ως εκ τούτου μπορούμε να πούμε ότι η διαίρεση ενός αριθμού από έναν άλλο μπορεί να αντικατασταθεί πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα με τον αντίστροφο αριθμό του διαιρέτη.
Τα παραδείγματα που δίνουμε παρακάτω υποστηρίζουν πλήρως αυτό το συμπέρασμα.
Κατά τη διάρκεια του δευτεροβάθμιου και του γυμνασίου, οι μαθητές πέρασαν το θέμα των "Κλάσματα". Ωστόσο, η έννοια αυτή είναι πολύ ευρύτερη από αυτή που δίνεται στη διαδικασία εκμάθησης. Σήμερα, η έννοια ενός κλάσματος συναντάται αρκετά συχνά, και ο καθένας δεν μπορεί να υπολογίσει οποιαδήποτε έκφραση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας τα κλάσματα.
Ποιο είναι το κλάσμα;
Έτσι ιστορικά, οι κλασματικοί αριθμοί εμφανίστηκαν λόγω της ανάγκης μέτρησης. Όπως δείχνει η πρακτική, συχνά υπάρχουν παραδείγματα για τον προσδιορισμό του μήκους ενός τμήματος, του όγκου ενός ορθογωνίου ορθογωνίου.
Αρχικά, οι μαθητές εξοικειώνονται με την έννοια της μετοχής. Για παράδειγμα, εάν διαιρείτε ένα καρπούζι σε 8 μέρη, τότε όλοι θα πάρουν ένα όγδοο καρπούζι. Αυτό το ένα μέρος των οκτώ ονομάζεται μερίδιο.
Ένα κλάσμα ίσο με το ½ μιας ποσότητας καλείται μισό. ⅓ - το τρίτο? ¼ - ένα τέταρτο. Τα αρχεία του εντύπου 5/8, 4/5, 2/4 ονομάζονται συνήθη κλάσματα. Ένα συνηθισμένο κλάσμα διαιρείται σε αριθμητή και παρονομαστή. Μεταξύ αυτών είναι η γραμμή κλάσματος ή κλασματική γραμμή. Η κλασματική γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί τόσο με οριζόντια όσο και με κεκλιμένη γραμμή. Σε αυτήν την περίπτωση, υποδηλώνει ένα σήμα διαίρεσης.
Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει πόσες ίσες μετοχές διαιρούν το μέγεθος του στοιχείου. και τον αριθμητή - πόσες ταυτόσημες μετοχές λαμβάνονται. Ο αριθμητής γράφεται πάνω από τη γραμμή κλάσματος, ο παρονομαστής βρίσκεται κάτω από αυτό.
Είναι πολύ βολικό να δείξετε συνηθισμένα κλάσματα στη δέσμη συντεταγμένων. Εάν διαιρείτε ένα τμήμα σε 4 ίσα μερίδια, ορίστε κάθε μετοχή με λατινικό γράμμα, και ως εκ τούτου μπορείτε να πάρετε μια εξαιρετική οπτική βοήθεια. Έτσι, το σημείο Α δείχνει ένα κλάσμα ίσο με το 1/4 του συνόλου της μονάδας και το σημείο Β σηματοδοτεί 2/8 αυτού του τμήματος.
Ποικιλίες των κλασμάτων
Τα κλάσματα είναι συνηθισμένα, δεκαδικά, αλλά και μικτά. Επιπλέον, τα κλάσματα μπορούν να χωριστούν σε σωστά και λάθος. Αυτή η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη για κοινά κλάσματα.
Με το σωστό κλάσμα εννοούμε έναν αριθμό του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Συνεπώς, ένα λανθασμένο κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Ο δεύτερος τύπος συνήθως γράφεται ως μικτός αριθμός. Μια τέτοια έκφραση αποτελείται από ένα ακέραιο και ένα κλασματικό τμήμα. Για παράδειγμα, 1½. 1 - το ακέραιο τμήμα, ½ - κλασματικό. Ωστόσο, εάν πρέπει να εκτελέσετε τυχόν χειρισμούς με την έκφραση (διαίρεση ή πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, μείωση ή μετασχηματισμός τους), ο μικτός αριθμός μετατρέπεται σε λάθος κλάσμα.
Η σωστή κλασματική έκφραση είναι πάντοτε μικρότερη από μία και η λανθασμένη κλασματική έκφραση είναι μεγαλύτερη ή ίση με 1.
Όσο για αυτή την έκφραση, εννοούμε ένα αρχείο στο οποίο εκπροσωπείται οποιοσδήποτε αριθμός, ο παρονομαστής της κλασματικής έκφρασης του οποίου μπορεί να εκφραστεί σε μια μονάδα με αρκετά μηδενικά. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε το ακέραιο τμήμα της δεκαδικής συμβολής θα είναι ίσο με το μηδέν.
Για να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει πρώτα να γράψετε το ακέραιο τμήμα, να το διαχωρίσετε από το κλασματικό χρησιμοποιώντας κόμμα και στη συνέχεια να γράψετε τη κλασματική έκφραση. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μετά από την υποδιαστολή, ο αριθμητής πρέπει να περιέχει όσους ψηφιακούς χαρακτήρες έχουν μηδενικά στον παρονομαστή.
Παράδειγμα. Αντιπροσωπεύουμε το κλάσμα 7 21/1000 σε δεκαδική συμβολική ιδιότητα.
Αλγόριθμος για τη μετατροπή του λάθους κλάσματος σε μικτό αριθμό και αντίστροφα
Είναι λάθος να γράψουμε το λάθος κλάσμα στην απάντηση του προβλήματος, οπότε πρέπει να μετατραπεί σε έναν μικτό αριθμό:
- διαιρέστε τον αριθμητή με τον υφιστάμενο παρονομαστή.
- σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, ένα ατελές πηλίκο είναι ένα σύνολο.
- και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού τμήματος και ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Μετατρέψτε το λάθος κλάσμα σε μικτό αριθμό: 47/5.
Λύση. 47: 5. Το ατελές πηλίκο ισούται με 9, το υπόλοιπο \u003d 2. Επομένως, 47/5 \u003d 9 2/5.
Ορισμένες φορές χρειάζεται να αναπαριστάς ένα μικτό αριθμό ως λανθασμένο κλάσμα. Στη συνέχεια πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
- ολόκληρο το μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή της κλασματικής έκφρασης.
- το προκύπτον προϊόν προστίθεται στον αριθμητή.
- το αποτέλεσμα είναι γραμμένο στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.
Παράδειγμα. Παρουσιάστε τον αριθμό σε μικτή μορφή ως λανθασμένο κλάσμα: 9 8/10.
Λύση. 9 x 10 + 8 \u003d 90 + 8 \u003d 98 - ο αριθμητής.
Η απάντηση: 98 / 10.
Πολλαπλασιασμός κοινών κλασμάτων
Διάφορα κλάσματα μπορούν να εκτελεστούν σε συνήθη κλάσματα. Για να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές δεν διαφέρει από το προϊόν των κλασματικών αριθμών με τους ίδιους παρανομαστές.
Συμβαίνει ότι μετά την εύρεση του αποτελέσματος θα πρέπει να μειώσετε το κλάσμα. Είναι επιτακτική ανάγκη να απλουστευθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η έκφραση που προκύπτει. Φυσικά, δεν μπορεί κανείς να πει ότι το λανθασμένο τμήμα της απάντησης είναι ένα λάθος, αλλά είναι επίσης δύσκολο να το ονομάσουμε σωστή απάντηση.
Παράδειγμα. Βρείτε το προϊόν από δύο συνήθη κλάσματα: ½ και 20/18.
Όπως μπορείτε να δείτε από το παράδειγμα, μετά την εύρεση του προϊόντος, έχουμε ένα αναγώγιμο κλασματικό αρχείο. Στην περίπτωση αυτή, τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής διαιρούνται με 4 και η απάντηση είναι 5/9.
Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλάδων
Το προϊόν των δεκαδικών κλάσεων είναι αρκετά διαφορετικό από το προϊόν των συνήθων κλασμάτων από την αρχή του. Έτσι, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως εξής:
- δύο δεκαδικά κλάσματα πρέπει να γράφονται το ένα κάτω στο άλλο έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
- πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους καταγεγραμμένους αριθμούς, παρά τα κόμματα, δηλαδή φυσικά.
- μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων μετά το κόμμα σε κάθε έναν από τους αριθμούς.
- στο αποτέλεσμα που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να υπολογίζετε δεξιά τα πολλά ψηφιακά σύμβολα με το άθροισμα και στους δύο πολλαπλασιαστές μετά το δεκαδικό σημείο και να βάλετε ένα διαχωριστικό σημείο.
- εάν οι αριθμοί στην εργασία αποδειχθούν μικρότεροι, τότε πρέπει να γράψετε τόσα πολλά μηδενικά μπροστά τους για να καλύψετε αυτόν τον αριθμό, βάλτε ένα κόμμα και αποδώστε το ακέραιο μέρος ίσο με το μηδέν.
Παράδειγμα. Υπολογίστε το προϊόν των δύο δεκαδικών κλασμάτων: 2.25 και 3.6.
Λύση.
Πολλαπλασιασμός των κλασμάτων
Για να υπολογίσετε το προϊόν δύο μικτών κλασμάτων, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα πολλαπλασιασμού κλάσματος:
- μεταφράζει μικτούς αριθμούς σε λανθασμένα κλάσματα.
- Βρείτε το προϊόν των αριθμητών.
- Βρείτε το προϊόν των παρονομαστών.
- καταγράψτε το αποτέλεσμα.
- απλοποιήστε την έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο.
Παράδειγμα. Βρείτε το προϊόν 4½ και 6 2/5.
Πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με κλάσμα (κλάσματα με αριθμό)
Εκτός από την εύρεση του προϊόντος από δύο κλάσματα, μικτούς αριθμούς, υπάρχουν εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε κατά κλάσμα.
Έτσι, για να βρείτε το προϊόν του δεκαδικού κλάσματος και του φυσικού αριθμού, χρειάζεστε:
- γράψτε τον αριθμό κάτω από το κλάσμα, ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα πάνω στο άλλο.
- βρείτε το έργο, παρά το κόμμα.
- στο αποτέλεσμα, διαχωρίστε το ακέραιο τμήμα από το κλασματικό τμήμα με κόμμα, μετρώντας προς τα δεξιά τον αριθμό των χαρακτήρων που είναι μετά το δεκαδικό σημείο στο κλάσμα.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα συνηθισμένο κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να βρείτε το προϊόν του αριθμητή και του φυσικού παράγοντα. Αν η απάντηση είναι ένα contractible κλάσμα, θα πρέπει να μετατραπεί.
Παράδειγμα. Υπολογίστε το προϊόν των 5/8 και 12.
Λύση. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Η απάντηση: 7 1 / 2.
Όπως μπορείτε να δείτε από το προηγούμενο παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να μειώσετε το αποτέλεσμα και να μετατρέψετε την εσφαλμένη κλασματική έκφραση σε μικτό αριθμό.
Επίσης, ο πολλαπλασιασμός κλάσματος αφορά επίσης την εύρεση του προϊόντος ενός αριθμού σε μικτή μορφή και έναν φυσικό παράγοντα. Για να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ακέραιο τμήμα του μικτού παράγοντα με τον αριθμό, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με την ίδια τιμή και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Εάν απαιτείται, θα πρέπει να απλοποιήσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει.
Παράδειγμα. Βρείτε το προϊόν 9 5/6 και 9.
Λύση. 9 5/6 χ 9 \u003d 9 χ 9 + (5 χ 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.
Η απάντηση: 88 1 / 2.
Πολλαπλασιασμός με συντελεστές 10, 100, 1000 ή 0,1. 0,01; 0,001
Ο ακόλουθος κανόνας απορρέει από την προηγούμενη παράγραφο. Για να πολλαπλασιάσετε το δεκαδικό κλάσμα κατά 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ., θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα δεξιά με τόσους αριθμούς με τον αριθμό των μηδενικών μονάδων στον παράγοντα μετά την ενότητα.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το προϊόν των 0,065 και 1000.
Λύση. 0,065 χ 1000 \u003d 0065 \u003d 65.
Η απάντηση: 65.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το προϊόν των 3.9 και 1000.
Λύση. 3.9 χ 1000 \u003d 3.900 χ 1000 \u003d 3900.
Η απάντηση: 3900.
Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό και 0,1. 0,01; 0,001; 0.0001, κλπ., Θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα αριστερά στο προϊόν που προκύπτει, με τόσες θέσεις σε αριθμούς με τα μηδενικά. Εάν χρειάζεται, γράφονται μηδενικά σε επαρκείς ποσότητες πριν από τον φυσικό αριθμό.
Παράδειγμα 1. Βρείτε το προϊόν των 56 και 0,01.
Λύση. 56 χ 0,01 \u003d 0056 \u003d 0,56.
Η απάντηση: 0,56.
Παράδειγμα 2. Βρείτε το προϊόν των 4 και 0.001.
Λύση. 4 χ 0,001 \u003d 0004 \u003d 0,004.
Η απάντηση: 0,004.
Έτσι, η εύρεση του προϊόντος από διάφορα κλάσματα δεν πρέπει να προκαλεί δυσκολίες, εκτός από το ότι ο υπολογισμός του αποτελέσματος? σε αυτή την περίπτωση, απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς μια αριθμομηχανή.