Jednym z najtrudniejszych tematów dla studentów jest rozwiązywanie równań zawierających zmienną pod znakiem modułu. Najpierw wymyślmy, z czym to się wiąże? Dlaczego, na przykład, równania kwadratowe powodują, że większość dzieci klika jak orzechy, ale przy tak dalekiej od skomplikowanej koncepcji koncepcji, jak moduł, ma tak wiele problemów?
Moim zdaniem wszystkie te trudności wiążą się z brakiem jasno sformułowanych reguł rozwiązywania równań z modułem. Więc decyduję równanie kwadratowe, student wie na pewno, że najpierw musi zastosować formułę dyskryminacyjną, a następnie wzór na pierwiastki równania kwadratowego. Ale co, jeśli w równaniu jest moduł? Postaramy się jasno opisać niezbędny plan działania w przypadku, gdy równanie zawiera nieznaną pod znakiem modułu. Oto kilka przykładów dla każdego przypadku.
Ale najpierw pamiętajmy definicja modułu... A więc moduł liczby za sam ten numer nazywa się if za nieujemne i -zajeśli liczba za mniej niż zero. Możesz to napisać tak:
| a | \u003d a jeśli a ≥ 0 i | a | \u003d -a, jeśli a< 0
Mówiąc o sensie geometrycznym modułu, należy pamiętać, że każda liczba rzeczywista odpowiada pewnemu punktowi na osi liczby - jej k 
koordynować. Zatem moduł lub wartość bezwzględna liczby to odległość od tego punktu do początku osi liczbowej. Odległość jest zawsze podawana jako liczba dodatnia. Zatem wartość bezwzględna dowolnej liczby ujemnej jest liczbą dodatnią. Nawiasem mówiąc, nawet na tym etapie wielu uczniów zaczyna się mylić. W module może znajdować się dowolna liczba, ale wynikiem zastosowania modułu jest zawsze liczba dodatnia.
Przejdźmy teraz bezpośrednio do rozwiązania równań.
1. Rozważmy równanie w postaci | x | \u003d c, gdzie c jest liczbą rzeczywistą. To równanie można rozwiązać za pomocą definicji modułu.
Wszystkie liczby rzeczywiste dzielimy na trzy grupy: te, które są większe od zera, mniejsze od zera, a trzecia grupa to liczba 0. Zapiszmy rozwiązanie w postaci diagramu:
(± c, jeśli c\u003e 0
Jeśli | x | \u003d c, a następnie x \u003d (0, jeśli c \u003d 0
(bez korzeni, jeśli z< 0
1) | x | \u003d 5, ponieważ 5\u003e 0, a następnie x \u003d ± 5;
2) | x | \u003d -5, ponieważ -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) | x | \u003d 0, a następnie x \u003d 0.
2. Równanie postaci | f (x) | \u003d b, gdzie b\u003e 0. Aby rozwiązać to równanie, konieczne jest pozbycie się modułu. Robimy to w ten sposób: f (x) \u003d b lub f (x) \u003d -b. Teraz konieczne jest oddzielne rozwiązanie każdego z otrzymanych równań. Jeśli w pierwotnym równaniu b< 0, решений не будет.
1) | x + 2 | \u003d 4, ponieważ 4\u003e 0, więc
x + 2 \u003d 4 lub x + 2 \u003d -4
2) | x 2 - 5 | \u003d 11, ponieważ 11\u003e 0, więc
x 2 - 5 \u003d 11 lub x 2 - 5 \u003d -11
x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6
x \u003d ± 4 bez korzeni
3) | x 2 - 5x | \u003d -8, ponieważ -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Równanie w postaci | f (x) | \u003d g (x). W rozumieniu modułu równanie takie będzie miało rozwiązania, jeśli jego prawa strona jest większa lub równa zero, tj. g (x) ≥ 0. Wtedy otrzymamy:
f (x) \u003d g (x)lub f (x) \u003d -g (x).
1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. To równanie będzie miało pierwiastki, jeśli 5x - 10 ≥ 0. Od tego zaczyna się rozwiązywanie takich równań.
1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0
2. Rozwiązanie:
2x - 1 \u003d 5x - 10 lub 2x - 1 \u003d - (5x - 10)
3. Łączymy ODZ. a rozwiązaniem jest:
Pierwiastek x \u003d 11/7 nie pasuje zgodnie z OD, jest mniejszy niż 2, a x \u003d 3 spełnia ten warunek.
Odpowiedź: x \u003d 3
2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.
1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Rozwiążmy tę nierówność metodą przedziałów:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Rozwiązanie:
x - 1 \u003d 1 - x 2 lub x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0
x \u003d -2 lub x \u003d 1 x \u003d 0 lub x \u003d 1
3. Łączymy rozwiązanie i ODZ:
Odpowiednie są tylko pierwiastki x \u003d 1 i x \u003d 0.
Odpowiedź: x \u003d 0, x \u003d 1.
4. Równanie postaci | f (x) | \u003d | g (x) |. To równanie jest równoważne następującym dwóm równaniom f (x) \u003d g (x) lub f (x) \u003d -g (x).
1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. To równanie jest równoważne następującym dwóm:
x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 lub x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5
x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0
x \u003d 3 lub x \u003d 4 x \u003d 2 lub x \u003d 1
Odpowiedź: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.
5. Równania rozwiązywane metodą podstawiania (podstawianie zmiennych). Tę metodę rozwiązania najłatwiej wyjaśnić na konkretnym przykładzie. A więc dajmy równanie kwadratowe z modułem:
x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Według właściwości modułu x 2 \u003d | x | 2, więc równanie można przepisać w następujący sposób:
| x | 2-6 | x | + 5 \u003d 0. Zastąpmy | x | \u003d t ≥ 0, wtedy będziemy mieli:
t 2 - 6 t + 5 \u003d 0. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy t \u003d 1 lub t \u003d 5. Wróćmy do zamiany:
| x | \u003d 1 lub | x | \u003d 5
x \u003d ± 1 x \u003d ± 5
Odpowiedź: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.
Spójrzmy na inny przykład:
x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Według właściwości modułu x 2 \u003d | x | 2, zatem
| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Dokonajmy zamiany | x | \u003d t ≥ 0, to:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy t \u003d -2 lub t \u003d 1. Wróćmy do zamiany:
| x | \u003d -2 lub | x | \u003d 1
Brak korzeni x \u003d ± 1
Odpowiedź: x \u003d -1, x \u003d 1.
6. Inny rodzaj równań - równania z „złożonym” modułem. Te równania obejmują równania, które mają „moduły w module”. Równania tego rodzaju można rozwiązać, korzystając z właściwości modułu.
1) | 3 - | x || \u003d 4. Będziemy postępować w taki sam sposób, jak w równaniach drugiego typu. Dlatego 4\u003e 0, otrzymujemy dwa równania:
3 - | x | \u003d 4 lub 3 - | x | \u003d -4.
Teraz wyrażamy moduł x w każdym równaniu, a następnie | x | \u003d -1 lub | x | \u003d 7.
Rozwiązujemy każde z otrzymanych równań. W pierwszym równaniu nie ma pierwiastków, ponieważ -jeden< 0, а во втором x = ±7.
Odpowiedź brzmi: x \u003d -7, x \u003d 7.
2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Równanie rozwiązujemy w ten sam sposób:
3 + | x + 1 | \u003d 5 lub 3 + | x + 1 | \u003d -5
| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8
x + 1 \u003d 2 lub x + 1 \u003d -2. Żadnych korzeni.
Odpowiedź: x \u003d -3, x \u003d 1.
Istnieje również uniwersalna metoda rozwiązywania równań z modułem. To jest metoda rozstawiania. Ale rozważymy to później.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
W dowolnym momencie możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy przesyłasz żądanie w witrynie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analizy danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania zaleceń dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym wydarzeniu promocyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji stronom trzecim
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
- W razie potrzeby - zgodnie z prawem, postanowieniem sądu, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - w celu ujawnienia swoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych ważnych społecznie powodów.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniej stronie trzeciej - następcy prawnemu.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności - w tym administracyjne, techniczne i fizyczne - aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanuj swoją prywatność na poziomie firmy
Aby mieć pewność, że Twoje dane osobowe są bezpieczne, przekazujemy naszym pracownikom zasady poufności i bezpieczeństwa oraz ściśle monitorujemy wdrażanie środków poufności.
Wartość bezwzględna liczby za To odległość od początku do punktu ZA(za).
Aby zrozumieć tę definicję, podstaw zmienną za dowolną liczbę, na przykład 3 i spróbuj ponownie odczytać:
Wartość bezwzględna liczby 3 To odległość od początku do punktu ZA(3 ).
Staje się jasne, że moduł to nic innego jak zwykła odległość. Spróbujmy zobaczyć odległość od początku do punktu A ( 3 )
Odległość od początku do punktu A ( 3 ) jest równe 3 (trzy jednostki lub trzy stopnie).
Moduł liczby jest wskazywany przez dwie pionowe linie, na przykład:
Moduł liczby 3 jest oznaczony następująco: | 3 |
Moduł liczby 4 jest oznaczony następująco: | 4 |
Moduł liczby 5 jest oznaczony następująco: | 5 |
Szukaliśmy modułu liczby 3 i stwierdziliśmy, że wynosi on 3. Piszemy więc:
Brzmi tak: „Moduł liczby trzy wynosi trzy”
Teraz spróbujmy znaleźć moduł liczby -3. Ponownie wróć do definicji i wstaw do niej liczbę -3. Tylko zamiast kropki ZA użyj nowego punktu b... Punkt ZA użyliśmy już w pierwszym przykładzie.
Liczby modulo - 3 to odległość od początku do punktu b(—3 ).
Odległość od jednego punktu do drugiego nie może być ujemna. Dlatego też moduł dowolnej liczby ujemnej, będącej odległością, również nie będzie ujemny. Moduł liczby -3 będzie równy 3. Odległość od początku do punktu B (-3) również wynosi trzy jednostki:
Brzmi tak: „Moduł liczby minus trzy równa się trzy”
Wartość bezwzględna liczby 0 wynosi 0, ponieważ punkt o współrzędnej 0 pokrywa się z początkiem, tj. odległość od początku do punktu O (0) równa się zero:
„Zero modułu wynosi zero”
Wyciągamy wnioski:
- Moduł liczby nie może być ujemny;
- Dla liczby dodatniej i zera moduł jest równy samej liczbie, a dla liczby ujemnej - liczbie przeciwnej;
- Liczby przeciwne mają równe moduły.
Liczby przeciwne
Nazywane są liczby różniące się tylko znakami naprzeciwko... Na przykład liczby −2 i 2 są przeciwne. Różnią się tylko znakami. Liczba −2 ma znak minus, a 2 ma znak plus, ale go nie widzimy, ponieważ, jak powiedzieliśmy wcześniej, zgodnie z tradycją nie piszą plusa.
Więcej przykładów liczb przeciwnych:
Liczby przeciwne mają równe moduły. Na przykład znajdźmy moduły dla −2 i 2
Rysunek pokazuje, że odległość od początku do punktów A (−2) i B (2) równa się dwóm krokom.
Podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy Vkontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
I jest obliczany zgodnie z następującymi zasadami:
Aby uzyskać zwięzłość, użyj | a |... Więc | 10 | \u003d 10; - 1/3 \u003d | 1/3 |; | -100 | \u003d 100 itd.
Dowolny rozmiar x odpowiada dość dokładnej wartości | x|. I to oznacza, że tożsamość w= |x| zestawy w jak niektórzy funkcja argumentu x.
Harmonogramto funkcjonować przedstawione poniżej.
Dla x > 0 |x| = x, i dla x< 0 |x|= -x; pod tym względem linia y \u003d | x| w x\u003e 0 w połączeniu z linią prostą y \u003d x(dwusieczna pierwszego kąta współrzędnych) i dla x< 0 - с прямой y \u003d -x(dwusieczna drugiego kąta współrzędnych).
Wybrany równania zawierać niewiadome pod znakiem moduł.
Dowolne przykłady takich równań - | x— 1| = 2, |6 — 2x| =3x+ 1 itd.
Rozwiązywanie równańzawarcie nieznanego pod znakiem modułu opiera się na fakcie, że jeśli wartość bezwzględna nieznanej liczby x jest równa liczbie dodatniej a, to ta liczba x sama jest równa a lub -a.
na przykład: jeśli | x| \u003d 10, to lub x\u003d 10 lub x = -10.
Rozważać rozwiązywanie poszczególnych równań.
Przeanalizujmy rozwiązanie równania | x- 1| = 2.
Rozbudujmy moduł wtedy różnica x- 1 może być równe + 2 lub - 2. Jeśli x - 1 \u003d 2, to x \u003d 3; gdyby x - 1 \u003d - 2, więc x \u003d - 1. Dokonujemy podstawienia i otrzymujemy, że obie te wartości spełniają równanie.
Odpowiedź.To równanie ma dwa pierwiastki: x 1 = 3, x 2 = - 1.
Przeanalizujmy rozwiązanie równania | 6 — 2x| = 3x+ 1.
Po rozszerzenie modułuotrzymujemy: lub 6-2 x= 3x+ 1 lub 6 - 2 x= - (3x+ 1).
W pierwszym przypadku x \u003d 1, aw drugim x= - 7.
Kontrola. Gdy x= 1 |6 — 2x| = |4| = 4, 3x + 1 \u003d 4; wynika z sądu, x = 1 - korzeńdany równania.
Gdy x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 \u003d - 20; więc od 20 ≠ -20 x \u003d - 7 nie jest pierwiastkiem tego równania.
Odpowiedź. Miećrównania pojedynczy pierwiastek: x = 1.
Równania tego typu mogą być rozwiązywać i graficznie.
Więc zdecydujmy na przykład, graficznie równanie | x- 1| = 2.
Początkowo wykonujemy konstrukcję grafika funkcyjna w = |x- 1 |. Najpierw narysujmy wykres funkcji w=x- 1:
Ta część grafikiktóry znajduje się nad osią x nie zmienimy się. Dla niej x - 1\u003e 0 i dlatego | x-1|=x-1.
Część wykresu znajdująca się pod osią x, zobrazować symetrycznie o tej osi. Ponieważ w tej części x - 1 < 0 и соответственно |x - 1|= - (x - jeden). Wynikowy linia (linia ciągła) i wolę wykres funkcji y \u003d | x—1|.
Ta linia będzie przecinać się z prosto w \u003d 2 w dwóch punktach: M 1 z odciętą -1 i M 2 z odciętą 3. I odpowiednio, równanie | x- 1 | \u003d 2 będą dwa pierwiastki: x 1 = - 1, x 2 = 3.
Nie wybieramy matematykijej zawód i wybiera nas.
Rosyjski matematyk Yu.I. Manin
Równania z modułem
Najtrudniejszymi do rozwiązania problemami matematyki szkolnej są równania zawierające zmienne pod znakiem modułu. Aby skutecznie rozwiązać takie równania, musisz znać definicję i podstawowe właściwości modułu. Oczywiście studenci powinni mieć umiejętności rozwiązywania tego typu równań.
Podstawowe pojęcia i właściwości
Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej oznaczony i jest zdefiniowany w następujący sposób:
Proste właściwości modułu obejmują następujące relacje:
Uwaga, że dwie ostatnie właściwości są ważne dla każdego parzystego stopnia.
Ponadto, jeśli, gdzie, to
Bardziej złożone właściwości modułu, które można skutecznie wykorzystać do rozwiązywania równań za pomocą modułów, są formułowane za pomocą następujących twierdzeń:
Twierdzenie 1. Dla dowolnych funkcji analitycznych i nierówność utrzymuje się
Twierdzenie 2. Równość jest równoznaczna z nierównością.
Twierdzenie 3. Równość równoznaczne z nierównością.
Rozważmy typowe przykłady rozwiązywania problemów na temat „Równania, zawierające zmienne pod znakiem modułu ".
Rozwiązywanie równań z modułem
Najpowszechniejszą metodą rozwiązywania równań z wykorzystaniem modułu w matematyce szkolnej jest metoda, w oparciu o rozbudowę modułów. Ta metoda jest wszechstronna, jednak w przypadek ogólny jego zastosowanie może prowadzić do bardzo kłopotliwych obliczeń. W związku z tym uczniowie powinni znać inne, więcej skuteczne metody oraz techniki rozwiązywania takich równań. W szczególności, musisz umieć stosować twierdzenia, podane w tym artykule.
Przykład 1.Rozwiązać równanie. (jeden)
Decyzja. Równanie (1) zostanie rozwiązane metodą „klasyczną” - metodą rozszerzania modułów. Aby to zrobić, podzielimy oś liczbową punkty i na przedziały i rozważ trzy przypadki.
1. Jeśli więc ,,, a równanie (1) przyjmie postać. Stąd wynika. Jednak w tym przypadku znaleziona wartość nie jest pierwiastkiem równania (1).
2. Jeśli, następnie z równania (1) otrzymujemy lub.
Od tamtej pory pierwiastek równania (1).
3. Jeśli, to równanie (1) przyjmuje postać lub. Zwróć na to uwagę.
Odpowiedź:,.
Podczas rozwiązywania kolejnych równań z modułem będziemy aktywnie wykorzystywać właściwości modułów w celu zwiększenia efektywności rozwiązywania takich równań.
Przykład 2. Rozwiązać równanie.
Decyzja. Od i, to wynika z równania... Pod tym względem,,, a równanie przyjmuje postać... Stąd otrzymujemy... Jednak , dlatego pierwotne równanie nie ma korzeni.
Odpowiedź: nie ma korzeni.
Przykład 3. Rozwiązać równanie.
Decyzja. Od tamtej pory. Jeśli następnie, a równanie przyjmuje postać.
Stąd mamy.
Przykład 4. Rozwiązać równanie.
Decyzja.Przepiszmy równanie w postaci równoważnej. (2)
Wynikowe równanie należy do równań tego typu.
Biorąc pod uwagę Twierdzenie 2, można argumentować, że równanie (2) jest równoważne nierówności. Stąd mamy.
Odpowiedź:.
Przykład 5. Rozwiązać równanie.
Decyzja. To równanie ma postać... W związku z tym , zgodnie z Twierdzeniem 3, tutaj mamy nierówność lub.
Przykład 6. Rozwiązać równanie.
Decyzja. Załóżmy, że. Tak jak , wtedy dane równanie przyjmuje postać równania kwadratowego, (3)
gdzie ... Ponieważ równanie (3) ma jeden dodatni pierwiastek i wtedy ... W związku z tym otrzymujemy dwa pierwiastki pierwotnego równania: i.
Przykład 7. Rozwiązać równanie. (4)
Decyzja. Ponieważ równanie odpowiada kombinacji dwóch równań: i, wtedy rozwiązując równanie (4) należy wziąć pod uwagę dwa przypadki.
1. Jeśli, wtedy lub.
Stąd otrzymujemy i.
2. Jeśli, wtedy lub.
Od tamtej pory.
Odpowiedź:,,,.
Przykład 8. Rozwiązać równanie . (5)
Decyzja. Od tego czasu. Z tego i z równania (5) wynika, że \u200b\u200bi tj. tutaj mamy układ równań
Jednak ten układ równań jest niespójny.
Odpowiedź: nie ma korzeni.
Przykład 9. Rozwiązać równanie. (6)
Decyzja.Jeśli oznaczymy, to iz równania (6) otrzymujemy
Lub. (7)
Ponieważ równanie (7) ma postać, równanie to jest równoważne nierówności. Stąd mamy. Od tego czasu lub.
Odpowiedź:.
Przykład 10. Rozwiązać równanie. (8)
Decyzja. Zgodnie z Twierdzeniem 1 możemy pisać
(9)
Biorąc pod uwagę równanie (8), wnioskujemy, że obie nierówności (9) zamieniają się w równości, tj. zachodzi układ równań
Jednak zgodnie z Twierdzeniem 3 powyższy układ równań jest równoważny układowi nierówności
(10)
Rozwiązując układ nierówności (10), otrzymujemy. Ponieważ układ nierówności (10) jest równoważny równaniu (8), pierwotne równanie ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź:.
Przykład 11. Rozwiązać równanie. (11)
Decyzja. Niech a, wtedy równość wynika z równania (11).
Stąd wynika, że \u200b\u200bi. Tak więc mamy tutaj system nierówności
Rozwiązaniem tego systemu nierówności jest i.
Odpowiedź:,.
Przykład 12. Rozwiązać równanie. (12)
Decyzja. Równanie (12) zostanie rozwiązane metodą sekwencyjnej rozbudowy modułów. Aby to zrobić, rozważ kilka przypadków.
1. Jeśli to.
1.1. Jeśli, to i.
1.2. Jeśli następnie. Jednak , dlatego w tym przypadku równanie (12) nie ma pierwiastków.
2. Jeśli, to.
2.1. Jeśli, to i.
2.2. Jeśli, to i.
Odpowiedź:,,,,.
Przykład 13. Rozwiązać równanie. (13)
Decyzja. Ponieważ lewa strona równania (13) jest nieujemna, to i. W związku z tym i równanie (13)
przyjmuje postać lub.
Wiadomo, że równanie odpowiada kombinacji dwóch równań i, rozwiązywanie, które otrzymujemy,. Tak jak , to równanie (13) ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź:.
Przykład 14. Rozwiąż układ równań (14)
Decyzja. Od i wtedy i. Dlatego z układu równań (14) otrzymujemy cztery układy równań:
Korzenie powyższych układów równań są pierwiastkami układu równań (14).
Odpowiedź: ,,,,,,,.
Przykład 15. Rozwiąż układ równań (15)
Decyzja. Od tamtej pory. W związku z tym z układu równań (15) otrzymujemy dwa układy równań
Korzenie pierwszego układu równań to i, az drugiego układu równań otrzymujemy i.
Odpowiedź:,,,.
Przykład 16. Rozwiąż układ równań (16)
Decyzja. Z pierwszego równania układu (16) wynika to.
Od tamtej pory ... Rozważ drugie równanie systemu. Ponieważnastępnie, a równanie przyjmuje postać, lub.
Jeśli podstawisz wartość do pierwszego równania układu (16), a następnie lub.
Odpowiedź:,.
W celu głębszego zbadania metod rozwiązywania problemów, związane z rozwiązywaniem równań, zawierające zmienne pod znakiem modułu, możesz polecić tutoriale z listy polecanych lektur.
1. Zbiór problemów matematycznych dla kandydatów na uczelnie techniczne / Wyd. MI. Skanavi. - M.: Pokój i edukacja2013. - 608 s.
2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: problemy o zwiększonej złożoności. - M .: CD „Librokom” / URSS, 2017 - 200 s.
3. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: niestandardowe metody rozwiązywania problemów. - M .: CD „Librokom” / URSS, 2017 - 296 s.
Wciąż masz pytania?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora - zarejestruj się.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.